ГЛАВА III. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

В предыдущей главе мы видели, что изучение одного уравнения любого порядка или системы уравнений, разрешенных относительно старших производных, всегда можно привести к изучению нормальной системы (1.2) главы II. Такую систему мы в этой главе и будем рассматривать. Здесь будут показаны методы изучения системы дифференциальных уравнений, пригодные для весьма широких классов систем. Речь будет идти о существовании решений и их построении в виде некоторых сходящихся рядов. Будут затронуты и другие вопросы. Остановимся сначала на некоторых вспомогательных предложениях.

§ 1. Голоморфные функции и мажоранты

Функция называется голоморфной в окрестности точки если в окрестности этой точки она представима в виде сходящегося ряда

где — постоянные.

Пусть дан ряд

с постоянными коэффициентами сходящийся в области

Если

то, как известно, из сходимости ряда (1.2) в области (1.3) следует сходимость ряда (1.1) в той же области, и ряд (1.2)

в этом случае называется мажорантой ряда (1.1). Если ряд (1.1) сходится в области (1.3), то он имеет и мажоранту (1.2) в этой области.

Действительно, если ряд (1.1) сходится в области (1.3), то, как известно, он сходится в этой области и абсолютно, т. е. сходится ряд

в области (1.3). Но тогда (1.5) и есть мажоранта (1.2) для ряда (1.1). Важнее другое. А именно, что для сходящегося ряда (1.1) всегда можно построить мажоранту в виде элементарной функции. Покажем это. Рассмотрим значение функции (1.5) в области

Функция (1.5) непрерывная, а область (1.6) замкнутая, поэтому имеем оценку в области (1.6)

Но тогда имеем и неравенства

или

Заменим в ряде правыми частями неравенств (1-9). Тогда получим ряд

Этот ряд сходится в области

и является мажорантой для ряда (1.1). Но сумма ряда (1.10) есть

Действительно, перемножая ряды

мы и получаем (1.10).

Приведем пример голоморфной функции от одной независимой переменной. Предположим,

где — полиномы с вещественными коэффициентами. Пусть где а — вещественное число. Согласно известной формуле Тейлора,

где — степень полинома — вещественные числа. Обозначим через комплексные и вещественные корни полинома Тогда, как известно,

где А — постоянное число, которое можно считать и единицей, — целые положительные числа.

Известно, что можно представить в виде суммы элементарных дробей где 4° — постоянные числа, а

— целое.

Имеем

Этот ряд, очевидно, сходится при Отсюда следует, что все элементарные дроби представимы в виде сходящихся рядов где — расстояние до ближайшего из корней полинома Тем самым имеем и такое разложение

сходящееся при Так как вещественный полином и а — вещественное число, то вещественные числа, так как они определяются как коэффициенты ряда Тейлора по формуле

Мы доказали утверждение: функция (1.13) представима сходящимся рядом

где и а — вещественные числа, расстояние от а до ближайшего из корней (учитывая и комплексные) полинома