§ 11. Существование общего решения

Дана система

имеющая единственное решение задачи Коши для каждой точки открытой области т. е. имеющая решение

Предположим еще, что решение (11.2) определено в области

и не зависит от выбора точки если

где замкнутая область содержится в А вместе с граничными точками. Тем самым предположено, что , если

Теорема 11.1. Решение (11-2), где фиксировано, а произвольное, является общим решением для области где

Надо показать, что в решении (11.2) найдется такое что

где

Берем произвольную точку

Строим решение

Так как то решение (11.7) существует при Следовательно, имеем

Подставляем это значение в (11.2). Тогда решения (11.2) и (11.7) совпадают в силу единственности решения для каждой точки области А и потому, что одна точка них общая. Но тогда построенное решение (11.2) проходит через точку

что и требовалось доказать.

Пусть, например, для системы (11.1) в области

выполнены условия теоремы Пикара. Тогда за область можно взять, например, область

Здесь где Берем теперь значение х из области и область , состоящую из точек Тогда решение где х фиксировано, а у — произвольное, является общим в области .

Рассмотрим теперь тот случай, когда область [для системы (11.1) есть цилиндрическая

где — некоторая ограниченная область при каждом значении х. Предположим еще, что каждое решение существует в промежутке Это означает, что всякое решение с начальными значениями при всех конечных значениях х остается в области (11.10). Тогда решение

Доказательство. Возьмем любую точку и построим решение

которое существует в промежутке Следовательно, имеем Подставляя это значение в (11.11), мы и получаем решение (11.11), проходящее через точку

Например, пусть дана система

где — ряды по положительным степеням х и у, сходящиеся в области

и L — изолированное периодическое или замкнутое решение, окружающее точку (0, 0), содержащееся в области и несодержащее внутри себя других периодических или замкнутых, решений и точек равновесия, кроме точки (0, 0). Под замкнутым решением мы понимаем такое решение, точка которого и при и при остается на замкнутой кривой, которую можно представить параметрически так, что В этом случае решение

системы (11.13), начавшись внутри области ограниченной не покидает этой области при Действительно, продолжая это решение мы не можем встретить такое что решение непродолжимо для Мы не можем встретить такое что при точка не стремится к предельной Не может точка и выйти из области, ограниченной интегральной кривой так как в силу единственности решения не может пересекать Не может это решение в конечное время достигнуть и точки (0, 0) (лемма 4.1). Мы доказали, что решение (11.14) не покидает области, ограниченной интегральной кривой и существует в области Но такое решение, согласно теореме 10.1, представимо рядами Пикара

Решение (11.14), где фиксировано, а -произвольные постоянные, является общим в области

Пример

Здесь имеется пять точек равновесия, расположенных по окружности точке (0, 0):

Из уравнений (11.17) имеем

откуда видим, что решения, начинающиеся внутри окружности обладают свойством: убывает при при возрастает. Но, как легко видеть, -интегральная кривая системы — замкнутое решение, которую в силу единственности решения, начинающиеся внутри окружности не могут пересекать при Следовательно, решения, начинающиеся внутри окружности остаются в этой области при всех конечных значениях Общее решение этой системы представимо сходящимися рядами Пикара (11.16).

Впрочем, здесь легко получим — произвольное постоянное, а также общее решение в конечной форме. Действительно, если положим

и подставим сюда значения из (11.17), то получим . Решениями будут что соответствует точкам равновесия. Остальные значения найдем из

где найдено.

Пример

Здесь точкой равновесия будет только точка (0, 0). Из (11.18) имеем

— интегральная кривая, которую не могут пересекать решения, начинающиеся внутри этой окружности. Легко найдем из Полагая получаем Если подставим сюда значения х и у из (11.18), то увидим, что поэтому общее решение будет

Но, согласно предыдущему, внутри окружности общее решение можно представить и в виде сходящихся рядов Пикара.

Пример

Эта система имеет лишь одну точку равновесия, так как система имеет лишь одно 1 вещественное решение Из уравнений (11.20) имеем

Полагая получаем

Легко видеть, что

поэтому при при . Другими словами, вне окружности возрастает, а внутри окружности убывает при Следовательно, если при попало внутрь окружности в точку , то при будем иметь

Отсюда имеем при Если же при получим то при имеем

откуда при Отсюда видим, что начало координат лежит в некоторой области в которой начинаются решения, обладающие свойствами при Эта область конечная, так как решения, попадающие во вне окружности обладают свойством при Отсюда также следует, что решения, начинающиеся

в области при не могут обладатьсвойством так как решения вне окружности обладают свойством: убывает при Таким образом, решения, начинающиеся в области остаются в этой области при всех А тогда, по доказанному, в области имеем общее решение

представимое при всех сходящимися рядами Пикара, где произвольные постоянные

Рассмотрим еще систему уравнений

где определена и непрерывна во всем бесконечном пространстве

и

где, таким образом, постоянная зависит от а, но не зависит от у. Как мы показали (см. систему при условии (5.1)), решение такой системы

существует в промежутке при любых конечных значениях Решение такой системы (11.24) при фиксированном и произвольном постоянном представимо сходящимися рядами Пикара и представляет собой общее решение во всей бесконечной области.