ГЛАВА XIII. ТЕОРИЯ ПОДВИЖНЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК В ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОБЛАСТИ

Введение

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

определенных в области в которой выполнены условия теоремы существования и единственности решений.

Граничной точкой области D является такая, в которой или не определена, или нарушена непрерывность, или не гарантирована единственность решения (хотя на самом деле она, быть может, и имеется, но нам неизвестна). Точку мы будем называть и особой. Таким образом, граница области D состоит из точек, в которых нарушена теорема существования решения, или, может быть, единственность. Если — все конечные точки то граничными точками будут бесконечно удаленные точки, окрестностью которых будет область вне сферы достаточно большого радиуса

Серьезной проблемой является изучение поведения решений в окрестности особых точек Эта проблема является локальной, но она тесно связана и с проблемой изучения поведения решений в целом. В качественной теории рассматривается схема расположения интегральных кривых (локальная или в целом), иногда без построения решений в виде формул. Построение решений возможно регулярное (в виде сходящегося процесса) или асимптотическое в каком-нибудь смысле. Иногда регулярный вид (сходящийся алгоритм) не дает ясного представления о поведении решения, а асимптотический, напротив, хорошо характеризует поведение этого решения. Асимптотика строится или относительно параметра, или при т. е. в окрестности особых точек

С качественной теорией мы имели дело в § 4, 7 и 16 главы I, в § 5 главы VI, а также в главе IX. Асимптотическое представление в окрестности точки видели в главе X, а асимптотическое

поведение решений относительно параметра — в главе XII.

Пусть Рассмотрим решение

и будем его продолжать для Тогда или мы получим решение в области или при (конечное) имеем где — особая точка. В частности, может быть

Это мы видели в главе III. Если же решение определено в области то и, следовательно, мы снова попадаем в окрестность особой точки, для которой

Но существуют особые точки которые мы видим сразу по Например, если имеем систему линейных уравнений то каждое решение определено и непрерывно в промежутке непрерывности матрицы Следовательно, особой точкой может быть только точка разрыва матрицы Рассмотрим еще уравнение с одним неизвестным

где пусть для простоты, — полиномы. Может случиться, что решение (2) обладает свойством при — такая точка, что

т. е. точка особая. Не ясно, существует и сколько таких решений. При одних таким свойством решение обладает, при других нет. Иногда таких решений вообще быть не может ни при каких — это мы видели в главе IX. Но так или иначе здесь известно сразу, как и в предыдущих случаях. В этих случаях называется неподвижной особой точкой — мы видим эти точки непосредственно по . Другие особые точки называются подвижными особыми точками.

Рассмотрим, например, уравнение (1), в котором полином. В этом случае на конечном расстоянии неподвижных

особых точек нет, но могут быть подвижные особые точки такие, что

Положение определяется начальными значениями, например, это видно из общего решения уравнения Следовательно, возникает вопрос: есть подвижная особая точка t или нет? И если есть, то каково ее значение? И это еще не все. Предположим, есть и мы имеем (4). Но как Может быть, все при Или некоторые из обладают этим свойством, другие имеют конечный предел, а третья группа не имеет предельных значений, колеблется при И каков вид решений в окрестности в каждом случае, как построить эти решения? Важно знать область в которой нет Если имеем одно уравнение с одной неизвестной х, то возможно только при где — точка разрыва если определена во всей конечной области, то при Но уже в случае двух неизвестных вопрос становится намного сложнее.

Начала теории подвижных особых точек созданы Пенлеве в аналитической теории дифференциальных уравнений, то есть в комплексной области, когда — комплексные переменные, — аналитическая функция. Более точно: Пенлеве рассматривал уравнения с одной неизвестной

где — рациональная функция от и аналитическая относительно Продолжателями Пенлеве были Гамбье, Гарнье и другие. В Советском Союзе с начали теорию особых подвижных точек строить для системы

с комплексными переменными с других позиций и другими методами [39]. В этой главе мы строим теорию подвижных особых точек в вещественной области для системы вида (5). Она отличается от работ, посвященных уравнениям (5) в

комплексной области. Но сначала в главе XIII будут рассматриваться решения в окрестности точки и в окрестности точки для системы двух уравнений типа Брно и Буке.