§ 2. Построение решения задачи Коши
Будем рассматривать задачу (1.10) для уравнения (1.7), которому соответствует обыкновенное уравнение
Пусть
есть соответственно частное и общее решения уравнения (1.7), где, таким образом,
есть интеграл уравнения (2.1).
Мы рассматриваем такую область 
в которой выполнены условия теоремы существования и единственности для уравнения (2.1). Введем в рассмотрение семейство кривых (2.3) (интегральных для уравнения (2.1)) и кривую
являющуюся проекцией кривой (1.10) на плоскость 
Согласно предположению, кривые (2.3), соответствующие различным значениям постоянной С, не пересекаются (так как расположены в области единственности интегральных кривых уравнения 
Рис. 11
Предположим, что кривая (2.4) проходит в области 
и не является кривой из семейства (2.3). Тогда каждому значению параметра 
в (2.4) соответствует определенное значение С в (2.3). И каждому значению С соответствует значение 
(может быть, не одно, так как кривая (2.4), возможно, пересекает кривую из семейства (2.3) несколько раз). Если это так, то равенство
определяет функцию
в некоторой области изменения 
. Причем так как 
и 
дифференцируемые, то и 
дифференцируема.
Будем рассматривать какую-нибудь определенную ветвь функции (2.6) и будем считать ее однозначной, т. е. такой, которая соответствует, грубо говоря, расположению кривых (2.3) и (2.4), показанных на рис. 11.
Теперь рассмотрим функцию
Это и есть решение уравнения (1.7), содержащее кривую (1.10), так как
Покажем, что другого решения не существует. Берем общее решение в виде
Найдем такую функцию Ф, чтобы это решение содержало кривую (1.10), т. е. чтобы имело место равенство
Здесь и 
поэтому
откуда получаем единственное значение 
Может показаться, что другая ветвь функции (2.6) даст и другое решение задачи. Но это не так, ибо другая ветвь даст решение задачи просто в другой части области 
или для другой части кривой (2.4).
Теперь будем предполагать, что кривая (2.4) является одной из кривых (2.3). В этом случае вместо (2.5) будем иметь
Формула (2.2) с произвольной функцией Ф содержит все решения. Рассмотрим какое-нибудь решение на кривой (2.4), Получим
Отсюда видим, что решение задачи (1.10) возможно только в том случае, когда
и в этом случае решением будет (2.2) при произвольной функции Ф, удовлетворяющей лишь условию (2.9), где постоянная 
задается произвольно в условиях Коши согласно (2.10). Таким образом, в этом случае имеем бесконечное множество решений. Необходимым и достаточным условием наличия равенства (2.8) является тождественное выполнение равенства
Действительно, если имеем (2.8), т. е. если кривая (2.4) является кривой из семейства (2.3), то она интегральная кривая уравнения (2.1), откуда и следует утверждение (2.11). Если нало найти решение задачи (1.8), то из равенства
находим
и решение задачи получим в виде
так как
Если (2.12) имеет вид
то решение найдем в виде
лишь при условии, что
т. е. в этом случае (когда будет (2.17)) в (1.8) должно быть 
в (2.16) удовлетворяет лишь условию (2.17). Плоские пространственные кривые
называются характеристиками уравнения (1.7), где 
— решение уравнения (1.7), отличное от постоянного (или интеграл уравнения 
Рассмотрим любое решение уравнения 
Пусть точка 
пробегает какую-нибудь из кривых 
Тогда, очевидно, 
сохраняет постоянное значение. Отсюда следует, что всякая интегральная поверхность 
состоит из характеристик. Из предыдущего следует, что если (1.10) — характеристика, то мы имеем бесконечное число решений.
Пример 1. 
Найти решение 
содержащее прямую
Здесь, как легко видеть, 
Составляем равенство (2.5): 
Отсюда 
будет решением задачи. Если возьмем 
то 
будет решением, соответствующим той части прямой (2.19), которая получается при изменении 
в промежутке 
Найдем теперь 
содержащее кривую
Здесь имеем (2.9), поэтому решения нет, так как 
не является постоянной. Если же надо найти решение 
содержащее прямую 
то решение получим в виде
Здесь 
и имеем 
т. е. имеем случай (2.15), поэтому решение получим в виде
содержащее кривую 
— решение уравнения (2.20), поэтому если вместо 
берем 
то решение получим в виде
