§ 1. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных
Будем рассматривать уравнение 
независимыми решениями которого являются 
и общее решение
Уравнение (1.1) называется однородным. Для уравнения (1.1) можно ставить задачу Коши — найти решение, подчиненное условию
где 
— произвольная функция. Или можно ставить более общую задачу — найти решение (1.2), содержащее 
-параметрическое многообразие
Это значит, что должно выполняться тождество
Очевидно, задача (1.3) есть частный случай общей задачи, когда полагаем в (1.4)
Для уравнения
задача (1.3) имеет вид
и задача 
формулируется так: найти решение
содержащее произвольно заданную кривую
с дифференцируемыми 
Это значит, что должно быть выполнено тождество
Здесь, таким образом, интегральная поверхность (1.9) должна содержать пространственную кривую (1.10). В условии (1.8) эта кривая
является плоской — она расположена в плоскости 
Можно, конечно, вместо условия (1.8) поставить условие
