§ 6. Случай ...

Предположения относительно мы сохраняем прежние, т. е. (5.2) и (5.4), но вместо будем предполагать за исключением конечного числа значений при всяком интересующем нас

Как было отмечено, в силе остается лемма 5.1.

Замечание 6.1. В случае

система (5.6) не имеет решения

но имеет решение

Отсюда следует

Замечание 6.2. Система (5.1) не имеет такого решения, что при будет

Тем более, конечно, нет и такого решения, что

Замечание 6.3. В случае (6.1) справедлива теорема 5.4 (она вытекает из прежней теоремы о продолжении решений, вообще не связанной с условием

Теорема 6.1. Пусть система (5.1) удовлетворяет условиям (5.2), (6.1) и (А) и для решения (5.15) точка особая. Тогда невозможно, чтобы х оставалось неопределенным, т. е. при обязательно будет или где точка — одна из тех, в которых выполнено одно из условий (5.11) — (5.14) или нарушено условие

Доказательство. Если при неопределенна, то имеем для которых (конечное) или Если конечная точка не входит в состав точек условий (5.11) — (5.14), то она, согласно лемме 1, неособая. А случай невозможен согласно замечанию 6.2.

Так же докажется

Теорема 6.2. Если система (5.1) удовлетворяет условиям (А) и условию

и для решения — особая точка, то либо при где точка — одна из тех, в которых имеем одно из условий (А) или нарушено условие или При

Отсюда следует

Теорема 6.3. Если особая точка и выполнены условия (6.1), (6.6), (А), то или

или при и в точке имеем один из случаев условий (А).

Заметим, что если и в точке нет (5.11) — (5.14), то неособая вообще.

Возвращаемся к системе (5.1) в предположении (5.4). Теорема 5.1 утверждает, что если - особая точка решения системы (5.1), то обязательно Но существует ли такая особая точка и если существует, то как можно построить решение в окрестности этой точки? Не ясно, как можно построить решение системы (5.6) с начальными условиями

или

В сущности, надо обнаружить или опровергнуть существование решений, обладающих свойством (6.8) или (6.9).

Мы показали, что если, кроме (5.4), еще выполнено и условие (5.5), то решения, обладающие свойством (6.8), отсутствуют и могут существовать только решения, обладающие свойством (6.9).

Таким образом, мы указали достаточные условия отсутствия решений, обладающих свойством (6.8).

Рассмотрим систему, удовлетворяющую условиям (5.4) и (5.5). Здесь, таким образом, стоит только один вопрос: существует ли решение такой системы, обладающее свойством (5.10), и если существует, то как его построить? Вернемся к системе (1.4), в которой

Очевидно, в соответствии с (5.1), (5.2), (5.3), (5.4), (5.5) здесь поэтому если будет особой точкой решения, то в соответствии с теоремой 5.3 должно быть (5.10). Ранее мы показали, что если начальные условия решения этой системы удовлетворяют условиям (1.6), то

Согласно теореме 5.3, это возможно лишь так, что при Таким образом, мы получили результат:

Если начальные условия решения системы (1.4) удовлетворяют условиям (1.6), то это решение обладает свойством

Пример.

Здесь

С — произвольная постоянная. Отсюда

Легко видеть, что

поэтому решения (5.10) существуют.

Рассмотрим систему

где Р и Q — полиномы и условия (5.4), (5.5) выполнены. Таким образом, если здесь для решения точка особая, то при (конечное). Но имеются ли решения с такими особыми точками или, может быть, все решения существуют при всех

Решение этого вопроса можно получить так. Из (6.10) имеем

По теореме Харди [11, с. 121] каждое ненулевое решение, непрерывное для в конце концов становится, как и его производные всех порядков, монотонным и удовлетворяет одному из соотношений

Но здесь предположено существование решения продолжимого при Укажем случаи, когда это будет.

Так как система (6.10) удовлетворяет условиям (5.4) и (5.5), то нет решения (см. замечание 5.2)

или

Нет и такого решения, что — неопределенное при (§ 6, глава III). Согласно результатам, полученным во введении к главе IX, решение определенное свойством

где либо не существует, либо существует только при или только при или вообще продолжимо через Например, каждое решение уравнения

не существует при и при хотя существует решение при и при

Остановимся на этом подробнее. Пусть

Тогда (6.11) запишем в виде

Если то, как легко видеть,

Отсюда

Следовательно, если - четное, то у определено и при и при Если же - нечетное, то у определено только при т.е. при если и при

Предположим, что при Тогда, как можно показать,

Например, если , то или Исключая из этого равенства и из равенства получаем в виде отношения полиномов Отсюда видим, что знак во всяком случае при достаточно большом устанавливается определенный. Предположим, что при Это означает, что все решения при достаточно больших х существуют только при Отсюда следует, что при продолжая непрерывно решение уравнения (6.11), мы не встретим таких особых точек когда

Предположим теперь, что уравнения имеют вещественные решения, но при этом

Тогда решение существует как при так и при Также легко указать все другие случаи, когда, продолжая решение, мы не встретим таких особых точек, что решение уравнения (6.11) не существует при Мы рассмотрели тот случай, когда встречаем точку в которой

В главе IX мы рассмотрели вопрос о решениях, обладающих свойством при где

когда

где не все коэффициенты а, с и равны нулю. Мы нашли все те случаи, когда решение, обладающее свойством

существует и продолжимо через

Предположим теперь в (6.10) такими, что решения, обладающие свойством при где

или выполнены условия продолжимы через Тогда все решения уравнения (6.11) продолжимы при Теорема Харди в этом случае дает асимптотическое выражение этих решений в виде Подставляя это асимптотическое выражение например

в уравнение

получаем

Если, учитывая главный член в Р, мы видим, что при будет

то имеем при поэтому будет и

Это так же, как в случае системы

Укажем еще на один способ доказательства существования решений, обладающих свойством (5.10). Мы покажем это на примере системы (6.10), равносильной уравнению

Итак, ищем решение при . Введем новые неизвестные Имеем

Здесь стоит вопрос о существовании решений, обладающих свойством при Если существует, например, интегральная кривая, входящая в начало координат вдоль прямой то это значит, что существует интегральная кривая, уходящая в бесконечность вдоль прямой Как решается вопрос о возможном направлении входа интегральной кривой в точку

Пусть дано уравнение

где - однородные полиномы соответственно степени — сумма членов с соответственно или

Найдем прямые (т. е. найдем вдоль которых могут входить интегральные кривые уравнения (6.14) в начало координат, т. е. когда для интегральной кривой, записанной в виде имеем — постоянное при или — конечное при Запишем уравнение (6.14) в виде

Так как то при в силу (6.15) при получим

Если

при также получим

И, наконец, если то, очевидно, придем к уравнению

Следовательно, если для (6.13) имеем прямую вдоль которой входят интегральные кривые в начало координат, то найдем из уравнения

или

Пусть корень этого уравнения. Тогда, возможно, вдоль прямой или входят интегральные кривые уравнения (6.13) в начало координат (уходят в бесконечность). Здесь — корень уравнения

В работе Фроммера показано, как выяснить, имеется или нет интегральная кривая, входящая в начало координат вдоль прямой (тем самым уходящая в бесконечность вдоль прямой

Предположим, что мы доказали существование интегральной кривой, уходящей в бесконечность вдоль прямой для системы (6.10), где Р и Q — полиномы второго порядка. Как узнать, существует или нет решение при Заменим в уравнении

Получим

Если здесь , то

при т. е. имеем решение при конечное.

Заметим еще, что уравнение (6.12) подробно исследовано в работе А. П. Воробьева [V]. Заменим в системе

Тогда получим

Откуда в силу (6.21)

Здесь — точка покоя. Вместо введем Тогда вместо (6.22) получим

и члены второй и выше степени не выписаны. Запишем эту си сгему в виде

где значения видны из

Здесь — точка равновесия. Если эта точка асимптотически устойчива, то, очевидно, интегральные кривые уравнений (6.20) уходят в бесконечность вдоль прямой или вдоль направления При этом, согласно Если эта величина ограничена при если асимптотически устойчиво при то интегральные кривые уравнений (6.20) уходят в бесконечность при а если при то при

Рассматривая вопрос об асимптотической устойчивости нулевого решения уравнений (6.23), мы должны различать случаи: I.

Пусть имеем случай I. Тогда решение асимптотически устойчиво (§ 2, глава VI) и, согласно (12.9) § 12 главы III, и 0 представимы в виде рядов

сходящихся равномерно при и достаточно малых постоянных Отсюда следует, что (конечное) при и, следовательно, имеем двухпараметрическое семейство интегральных кривых, уходящих в бесконечность вдоль прямой (т. е. асимптотически приближаясь к этой прямой при — конечное).

Случай II не отличается от случая I, здесь только надо рассмотреть . Пусть теперь имеем случай IV. Тогда имеем однопараметрическое семейство решений стремящихся к при и представимых в виде рядов

Учитывая, что

видим, что в сущности имеем только одну интегральную кривую, уходящую в бесконечность вдоль прямой при — конечное. Но здесь мы имеем и другую интегральную кривую, уходящую в бесконечность вдоль прямой в обратном направлении при и представимую в виде рядов благодаря тому, что

Случай III не отличается от случая IV. В случаях V, VI, VII и VIII всегда имеем одну интегральную кривую, уходящую в бесконечность вдоль прямой при так как имеем семейство решений в виде (6.25). Но возможно здесь и двухпараметрическое множество решений, асимптотически уходящих в бесконечность вдоль прямой однако не при (конечное), а при

Все это можно увидеть из главы II [57]. В случае X вопрос решается на основании рассуждений в § 94 главы VI относительно уравнения (94.7) [59].

Рассмотрим теперь случай IX. Как мы уже указывали ранее, вопрос о существовании решений уравнений обладающих свойством

полностью решен у Ляпунова [57]. Но нам нужно еще знать вид функции при В случае фокуса это построение решений дано в [23] и в остальных случаях в [6] и [98]. В частности, все эти вопросы можно решать для системы

Если здесь то условия (5.2), (5.3), (5.4) и (5.5) выполнены, поэтому если особая точка, то при Для такой системы точка решения не может удаляться в бесконечность по спирали при конечное. Но это будет и в том случае, когда имеем только теорему 5.1 или только 5.2.