§ 3. О решениях систем двух дифференциальных уравнений типа Брио и Буке

Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений

где голоморфные функции в окрестности точки без свободных и линейных членов, а — постоянные. В параметрическом виде эти уравнения можно записать так:

Предположим, что среди матрицы , нет Тогда найдутся такие, что если введем новые неизвестные функции равенствами то для получим уравнения вида (3.1), но с

и уравнения (3.2) перейдут в уравнения

Если есть то члены мы будем включать в как в (3.1), так Нас будет интересовать решение

Очевидно, уравнения (3.1) являются обобщением уравнения Врио и Буке, так как здесь в начальной точке правые части остаются неопределенными.

Запишем еще уравнения (3.11) в векторном виде

Уравнения (3.11) можно преобразовать к каноническому виду. Как и для уравнений (1.5) главы IX, будем различать следующие случаи:

т. е. комплексные;

Здесь

В случаях (3.5) и (3.6) S — вещественная, а в случаях (3.7), (3.8) — комплексная.

Введем в (3.4) новый неизвестный вектор равенством

Тогда (случай (3.5)) для и получим

Здесь — функция такого же типа относительно как относительно у и Таким образом, в этом случае уравнения (3.1) преобразуются к уравнениям вида

В случае (3.6) мы также получим уравнения

Уравнения (3.10) и (3.11) в параметрическом виде запишутся в виде

Предположим теперь, что имеем (3.7). Полагая в получаем уравнения

В соответствии с теоремой 7.1 и формулами (7.14), (7.17) и (7.20) главы V выберем матрицу

Тогда будет Заменяя теперь в (3.12), согласно (7.22) главы V,

получаем

или, согласно формуле (7.23) главы V,

Заменяя здесь находим

или

Таким образом, для определения и имеем вещественные уравнения

где — вещественная функция, голоморфная в окрестности точки не имеющая свободных и линейных членов относительно

Если, в частности, т. е. характеристические числа матрицы Р чисто мнимые, то матрица определяется равенствами:

где уравнения (3.15) принимают вид

Теперь приступаем к рассмотрению вопроса существования и построения решения системы (3.1), обладающего свойством (3.3). Заметим, что вопрос о существовании и построении такого решения эквивалентен такому же вопросу для преобразованных уравнений (3.15) или (3.16).

Сначала рассмотрим случай (3.5), которому соответствует система (3.10). Покажем, что здесь существует единственное голоморфное решение уравнений (3.10)

если и не являются целыми положительными числами. Подставляя в получаем

Отсюда видим, что если — целое, то формальное решение существует и определяются единственным образом по формулам

где полином от коэффициентов рядов с положительными коэффициентами. Имеем

Рассмотрим теперь уравнения

где — мажорантные ряды для Здесь — ряды без свободных и линейных членов относительно поэтому равенства (3.18) определяют [16, 35] единственные голоморфные функции вида 1

Подставляя (3.19) в (3.18) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, получим для определения равенства, подобные (3.17):

Здесь — те же полиномы, что и в (3.17), от положительных коэффициентов рядов и вместо стоит А. Следовательно, выйдут положительными и по модулю превосходящими откуда и следует сходимость рядов Мажорантный ряд для можно построить и так. Заменим в (3.18) мажорантные ряды общим мажорантным рядом в виде элементарной функции (см. главу III)

Так как здесь правые части совпадают, то поэтому имеем уравнение

Отсюда легко найдем

и этот ряд будет мажорантным 1 для (3.17).

Таким образом, доказана

Теорема 3.1. В случае (3.5) система (3.1) имеет и притом единственное голоморфное решение, обладающее свойством (3.3), представимое через ряды согласно (3.9), если не являются целыми положительными числами.

Теорема 3.2. Если — не целое положительное, а — целое положительное, то в случае 2

будет — произвольное постоянное и ряд содержащий эту произвольную постоянную снова сходится; если же условие не выполнено, то голоморфного решения нет.

Здесь при доказательстве сходимости ряда нужно только взять в при

Таким образом, в теореме 3.2 указан случай, когда система (3.1) имеет однопараметрическое семейство голоморфных решений. И еще так же докажется

Теорема 3.3. Если — целые положительные числа и

то ряды сходятся при произвольных значениях и

Таким образом, здесь указан случай, когда система (3.1) имеет двухпараметрическое семейство голоморфных решений. Если условие (3.204) не выполнено, то голоморфных решений, обладающих свойством (3.3), нет. Будем далее вместо независимой переменной писать х.

Теорема 3.4. Если и

где - целые неотрицательные и

то система уравнений (3.10) имеет решение

где — произвольные постоянные, и ряды (3.23) сходятся при

Доказательство. Учитывая то, что, согласно (3.23), где из (3.10) получаем уравнения для и

которым формально удовлетворим рядами (3.23). При этом коэффициенты найдутся сравнением коэффициентов в левой и правой частях из уравнений

где Отсюда, в частности, имеем

Здесь всегда можно положить - произвольные, что мы и сделаем сейчас. Остальные коэффициенты в силу

(3.21) найдутся единственным образом. Для доказательства сходимости рядов (3.23) рассмотрим уравнения

решение которых ищем в виде сходящихся рядов

Здесь — мажоранты например коэффициенты мажоранты произвольные постоянные и

Из теории неявных функций известно, что такое решение уравнений (3.26) существует [16, 35]. Подставляя (3.27) в (3.26) и сравнивая коэффициенты, получаем

где очевидно, такой же полином, как и в (3.20). Следовательно, имеем откуда и следует сходимость рядов 3 (3.23) при малых и произвольных постоянных Как и в случае (3.18), возьмем в (3.26) вместо общую мажоранту и вместо наибольшую из них а. Тогда вместо (3.26) получим

Пусть еще Тогда можно положить и мажоранта примет вид

Отсюда легко найдем

точный радиус сходимости и тогда ряды (3.27) и, следовательно, (3.23) будут сходиться при

Таким образом, если то система (3.1) имеет двухпараметрическое семейство решений, обладающих свойством (3.3), если выполнено условие (3.21).

Замечание. Если но не является числом вида где — целые, то будет вещественным только при если же будет вещественным как при так и при Этим определяется, будет ли решение (3.23) определено только при или также и при

Теорема 3.5. Если

то система (3.10) имеет однопараметрическое семейство решений, обладающее свойством (3.3), в виде сходящегося ряда при малых

где — произвольная постоянная. При это решение будет голоморфным.

Доказательство. Очевидно, функции должны удовлетворять уравнениям

Подставляя сюда (3.30) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находима , откуда получаем

где а — произвольная постоянная. Далее получим

где полином с положительными коэффициентами. Заметим, что здесь всегда в силу (3.29) и коэффициенты определяются однозначно через . Чтобы доказать сходимость рядов (3.30), рассмотрим уравнения

где Из теории неявных функций следует, что эта система имеет решение в виде сходящихся рядов

Подставляя эти ряды в (3.33) и сравнивая коэффициенты, получаем

и

где — такой же полином, как и (3.32), но от положительных чисел и вместо величины стоит большая величина Следовательно, имеем и из сходимости рядов (3.34) следует сходимость рядов 1 (3.30).

Теорема 3.6. Пусть целое. Тогда система (3.10) имеет однопараметрическое семейство решений, обладающих свойством (3.3):

где — произвольная постоянная.

Доказательство. Рассмотрим систему

Эта система типа (3.31) (с поэтому имеет решение в виде (3.30)

с произвольной Система

имеет решение в виде

Покажем это. Подставляя (3.38) в (3.37), мы найдем коэффициенты этого ряда по формулам

Таким образом, здесь — произвольное, а все остальные коэффициенты ряда (3.38) определяются однозначно, при этом если то и все коэффициенты ряда выйдут положительными. Легко видеть, что функции будучи подставлены в (3.37), дадут уравнения (3.36). Отсюда следует сходимость рядов (3.38) при малых

Рассмотрим теперь систему

Этим уравнениям формально удовлетворяют ряды

Для определения коэффициентов получим уравнения: откуда имеем — неопределенно, Общие же формулы аналогичны (3.39):

Здесь надо считать при так как при второе слагаемое слева не появляется ввиду присутствия в (3.40) слева члена х (как это было и при определении коэффициентов

ряда Положим в Тогда будем иметь при

Мы уже нашли но осталось неопределенным и в правую часть формулы (3.42) оно не входит. Следовательно, из (3.42) имеем

После этого, согласно остается произвольным. Все остальные коэффициенты из (3.41) определяются однозначно. Выбирая произвольно положительным в (3.38), мы получили все коэффициенты в (3.38) положительными и тем самым

получили как угодно большим положительным.

Итак, согласно формулам (3.39), имеем

В силу (3.44), где — произвольная, будет произвольная. Во всех остальных случаях, как легко видеть, определяя и будем иметь и

Так как коэффициенты рядов положительные и по модулю равные или превосходящие соответствующие коэффициенты рядов сравнивая коэффициенты при и коэффициенты при также коэффициенты при и коэффициенты видим, что все эти коэффициенты положительные и вторые коэффициенты больше первых (за исключением при когда оба они равны Так как ряды (3.38) сходятся, то сходятся и ряды Если теперь положить в то функции будут удовлетворять системе (3.10). Теорема 3.6 доказана.

Замечание к теореме 3.6. Может случиться, что решение (3.35) не содержит членов с и это решение будет голоморфным с произвольной постоянной Необходимым и достаточным условием этого является равенство

Действительно, согласно (3.43), при этом будет Так как и 0, то, как легко увидеть из (3.41), тогда будет и при Условие (3.45) наверное будет выполнено, если разложения по степеням х начинаются членами не ниже порядка. Действительно, через обозначен коэффициент при в разложении с учетом того, что имеет вид (3.411) и не содержит линейных членов относительно Следовательно, этот коэффициент и совпадает с членом в разложении так как если в не было при то и в нет члена при

Приведем теперь без доказательства теоремы, относящиеся к другим случаям корней Пусть снова имеем (3.10) при

и при некоторых будет

Здесь возможны четыре разных случая:

1. Условие (3.47) выполняется при и не выполняется при

2. Выполняется как при так и при

3. При не существует, а при выполняется несколько раз.

4. При не существует, а при выполняется один раз.

Замечание. Легко видеть, что для при условии (3.46) равенство (3.47) возможно лишь при условии т. е.

т. е.

Таким образом, первый случай будет, когда — целое, а — не целое.

Теорема 3.7. При условиях (3.46) и (3.47) в случае 1 система имеет решение, обладающее свойством (3.3), в виде

где - произвольные.

Чтобы найти это решение, надо уравнению

удовлетворить формально рядом

и затем положить Для определения коэффициентов получим уравнения

откуда найдем -произвольные, нужно положить равным (В частности, если то будем иметь -произвольное.)

Остальные коэффициенты определяются однозначно.

Может случиться, что системе

можно удовлетворить формально рядами

Тогда уравнения (3.10) имеют решения в виде (в случае 1)

с произвольными постоянными и ст. Чтобы имел место случай 2, согласно (3.48) и (3.49), должно быть целым, а определяться равенством (3.49).

Теорема 3.8. В случае 2 система (3.10) имеет решение в виде

где -произвольные, а — целая часть

Случай 3 возможен только при условии, что — рациональные и — не целое (так как иначе равенство (3.47) возможно при Этот случай сводится к случаю, рассмотренному в теореме 3.8, так как, вводя новую независимую переменную где — общий знаменатель вместо (3.10) получим систему

Теорема 3.9. В случае 4 система (3.10) имеет решение в виде

где — произвольные постоянные.

Доказательства этих теорем читатель найдет в работе [II]. Случаи (3.5) при и (3.7) при сводятся соответственно к системам (3.10) (при и (3.14), которые не отличаются. Здесь при любом не целом Я (соответственно о) система имеет единственное голоморфное решение (согласно теореме 3.1). При не целом система (3.10), (3.14) имеет решение

с произвольными постоянными Это решение получаем, удовлетворяя формально уравнению

рядами

Если же X — целое положительное, то имеем решение

с произвольными постоянными см и которое получаем, удовлетворяя формально уравнению

рядами (3.58) и полагая затем В случае (3.6), т. е. в случае уравнений (3.11), когда X не равно целому, имеем единственное голоморфное решение. Если же то существует решение вида

При этом если А, — нецелое, то — произвольные постоянные, Если X — целое, то произвольными постоянными будут случаях иногда решение не содержит или даже решение будет голоморфным с двумя произвольными постоянными (при некоторых соотношениях между коэффициентами рядов