§ 8. Случай ...

Рассмотрим систему (5.1), в которой Р и Q суть полиномы относительно х и у, а коэффициенты представимы в виде рядов

сходящихся при всех конечных значениях Будем рассматривать случай

При этом, если то будем считать очевидно ограничена в конечной области Если же то не содержит у, т. е. Пусть (конечное) является подвижной особой точкой решения уравнений (5.1). Как могут себя вести при Предположим, что не имеет предела (конечного и бесконечного) при Тогда некоторым значениям - соответствует ограниченное множество значений из которого можно выбрать сходящуюся последовательность; таким образом, вообще будем иметь

При этом соответственно для имеем или (конечное), или Если имеем первый случай, т. е. то, согласно лемме 5.1, рассматриваемое решение обладает свойством при и точка вообще не будет особой — это решение мы можем получить по теореме Пикара или Коши.

Таким образом, если — такая особая точка, что при не имеет предела, то имеем

В силу (8.1) система (5.6) принимает вид

и, как видим из (8.3), имеет решение, обладающее свойством

Отметим теперь следующее. Так как особая точка подвижная, то она, вообще говоря, не фиксированная. Первоначальное ограниченное множество можно взять по-разному, поэтому и предельная точка также, вообще говоря, не фиксирована. Все это позволяет нам считать

Так как еще , то уравнения (8.4) можно записать в виде?

Согласно лемме 5.1, рассматриваемое решение (8.5) системы (8.7) обладает свойством

и может быть получено согласно теореме Коши. Легко видеть, что

и

так как Отсюда следует, что, согласно теореме Коши, рассматриваемое решение имеет вид

Будем теперь различать два случая:

Пусть имеем (8.10). Из первого равенства (8.9) получим

Отсюда, согласно теории неявных функций [35, 37], найдем единственное вещественное

и, согласно второму из равенств (8.9) и

Здесь форма решения при и при совпадает, но это два разных решения — одно из них определено при другое — при Однако для неизвестной как видно из (8.12), точка не является особой в том смысле, что через нее нельзя непрерывно продолжить решение. В целом же точка является особой для решения (так как непродолжимо через ввиду того, что при

Пусть теперь имеем (8.11). Тогда в случае имеем (8.111), (8.12) и (8.13), но теперь вещественным будет лишь при и имеется два значения так как имеет два вещественных значения, отличающиеся знаком. Если же — четное и то вместо (8.111) напишем при

после чего соответственно получим

Теперь имеем два вещественных решения, определенных при Доказана

Теорема 8.1. Если в системе (5.1) Р и Q — полиномы относительно х и у с коэффициентами, представляющими собой ряды по положительным степеням сходящиеся при всех конечных и если имеем в окрестности особой подвижной точки при условии — нечетное имеем два решения — одно при и другое при представимые рядами (8.12) и При условии — четное также имеем два решения: в случае в виде (8.12), (8.13) при где имеет два значения, отличающиеся знаком (поэтому и получается два различных решения), и в случае при в виде (8.14), (8.15), где также имеет два значения, отличающиеся знаком.

Читатель легко представит себе качественную картину в плоскости порождаемую поведением в окрестности особой точки во всех этих случаях. Из полученных разложений видим также, что при не может оставаться неопределенной, а обязана иметь предел, равный Сопоставим вопрос: как можно определить — радиус сходимости рядов представляющих это решение в окрестности особой точки Рассмотрим ряды (8.12) и (8.13), которым предшествовал ряд (8.111). Некоторая область сходимости рядов (8.9) дается согласно теореме Коши относительно системы (8.7) и (8.4):

где такие, что ряды (8.7) сходятся в области

и в этой области модули правых частей в (8.7) или в (8.4) не превосходят положительного числа М.

Пусть в области будет (из (8.114))

При таких ряд сходится, модуля его сухлшы равен и, следовательно, мажорируется функцией

в области Отсюда следует, что ряд (8.12) сходится в области

так как в этой области сходится разложение в ряд по положительным степеням величины определяемой мажорантным равенством

Ряд, полученный для из (8.I61), будет мажорантой для (8.12) и ряд (8.13) также будет сходиться в области (8.16).

Если мы построим решение уравнений (5.1) в окрестности точки то в окрестности (из (8.16))

не встретим особых точек этого решения. Но здесь L зависит от поэтому надо взять в области и начальную точку на расстоянии не более от множества Что касается то множество допустимых определяется значением у из (8.15).

Мы нашли некоторую область сходимости ряда (8.12). Но что можно сказать о всей области сходимости этого ряда? Из теории неявных функций [35, § 8] имеем: пусть найдена из

в виде

Тогда ближайшее конечное значение х из области сходимости ряда (8.18), при котором может нарушиться сходимость ряда (8.19), определяется условиями

Отсюда следует, что в нашем случае ближайшее значение при котором может ряд (8.12) расходиться, определяется равенством

равенством

и третьим условием (8.20), которое здесь имеет вид

Но что такое равенство (8.22)? Так как согласно (8.4)

то условие (8.22) принимает вид

или

Это возможно или при при — полином относительно х, , в котором коэффициенты принимают конечное значение при конечных и нас интересует конечное поэтому Следовательно, остается только условие Таким образом, ближайшей к особой точкой будет такое при котором снова имеем решение при

Следовательно, найдем из равенства или (8.9), где полагаем и считаем Или, записывая для рассматриваемого решения уравнения (8.4) в виде

полагаем здесь

Отсюда видим, что если нет при котором имеем второе равенство (8.23), то в области сходимости рядов (8.9) нет второго значения которому соответствует или Доказана

Теорема 8.2. Если (8.23) невозможно, то существует (и притом обязательно) только одно такое в окрестности которого имеем решение в виде (8.12), (8.13), и эти ряды либо сходятся при всех конечных либо при будет и при ряд или второй (8.9) расходится.

Сходимость рядов (8.12), (8.13) может нарушаться и при таких что при будет что возможно для некоторых систем, о которых речь будет идти позднее. Пример.

Здесь система (5.6) имеет вид

Решением будет Ряд (8.11): сходится при всех х. Равенство (8.23): при невозможно. Ряды (8.12), (8.13):

Может случиться, что ряды (8.12), (8.13) не представляют рассматриваемое решение при во всей области существования, но можно иначе представить это решение во всей области существования, например, в виде

Запишем уравнения (8.4) в виде

откуда

Может случиться, что эта система является тем частным случаем, когда по теореме Пикара решение существует при всех конечных тогда из (8.25) мы и получим это решение по методу Пикара во всей области существования. Пример.

Здесь — полиномы и степень полинома не меньше степени полинома полиномы и степень полинома не меньше степени полинома , или степенные ряды и ограничены вместе с производными. Здесь

Система (8.24) имеет вид

Здесь частные производные от правых частей по и по х ограничены во всей области поэтому, согласно заключениям в § 5 главы III, решение уравнений

существует во всей области и может быть получено в виде ряда Пикара. Заменяя здесь получаем

Отсюда видим, что

и тем самым имеем при или при

Это мы не можем получить из (8.28), так как соответствуют т. е. сначала из (8.28) получаем:

Затем

и

так как изменяется в промежутке когда у изменяется в промежутке Все это не противоречит рассуждениям после (8.23) и теореме 8.2, а согласуется с этим.

Действительно, из (8.30) видим, что и (конечное) при (конечное). Отсюда следует, что при второй ряд (8.9) сходиться не может. Из (8.31) мы видим и то, что из т. е. при второй ряд (8.9) расходится, находится вне области сходимости второго ряда (8.9), поэтому рассуждения после (8.23) и теорема 8.2 согласуются с выводами относительно поведения решений системы (8.26).

Заметим, что из (8.28) вблизи можно записать

Все это можно проинтегрировать в конечном виде.

Частным случаем системы (8.26) будет система

Здесь

Вблизи получим

Рассмотрим теперь и случай

Следовательно, система (5.1) имеет вид

Здесь

Система (5.6) запишется так:

Как и ранее, можно считать

Теперь вместо (8.9) получим

откуда

и

Впрочем, здесь непосредственно из первого уравнения (8.32) на основании теоремы Коши получаем первый из рядов (8.35), а подставляя это значение во второе уравнение (8.32), получаем йросто уравнение Риккати

которое изучено в главе I, поэтому мы не будем подробнее рассматривать случай

В главе XI найдено представление решения уравнения (8.37) во всей области существования и показано, как можно

найти особую подвижную точку как функцию начальных значений

Мы рассмотрели вопрос о природе подвижной особой точки решения системы (5.1), предполагая лишь то, что неизвестная не имеет предела при При таком предположении мы нашли вид решения в окрестности этой особой точки Так же можно провести исследование, предполагая лишь то, что не имеет предела при При этом вместо системы и (5.6) надо пользоваться системой

Не повторяя прежних рассуждений, формулируем окончательные выводы.

Теорема 8.3. Если в системе (5.1) Р и Q — полиномы относительно х и у с коэффициентами, представляющими собой ряды по положительным степеням сходящиеся при всех конечных и если имеем то в окрестности особой подвижной точки при условии — нечетное имеем два решения: одно при и другое при представимые рядами

При условии четное также имеем два решения: в случае в виде (8.39) при где имеет два значения, отличающиеся знаком, и в случае при в виде

Если имеем то система (5.1) принимает вид

и решение в окрестности особой точки имеет вид, аналогичный (8.35), (8.36):

§ 9. Случай

Теперь рассмотрим таую систему (5.1), где Р и полиномы от х и у с коэффициентами вида (8.11), для которых выполнены условия

Из § 8 вытекает

Теорема 9.1. Если — особая точка решения, то при и у имеют предел, конечный или бесконечный, зтож либо

либо

либо

С произвольными постоянными

Решения, обладающие свойством (9.3) и (9.4), наверное существуют и легко строятся согласно формулам § 8. Вопрос о существовании решений, обладающих свойством (9.5) или в области требует дополнительного исследования.

Пример.

Здесь

Следовательно, решения, обладающие свойством (9.3) или (9.4), существуют и строятся согласно формулам § 8.

Выясним теперь, существует или нет решение, обладающее свойством (9.5). Введем новые переменные Тогда система (9.6) перейдет в систему

Нас интересует решение, обладающее свойством при При этом переменная и может удовлетворять одному из условий: а) при (конечное) при в) и не имеет предела при при Систему (9.7) запишем так:

Здесь не существует решение и при (конечное ) (так как есть только Следовательно, случай б) невозможен. Невозможен и случай а). Действительно, запишем второе из уравнений (9.8) в виде

Так как по условию то можно написать

где а при для рассматриваемого решения — бесконечно малая порядка, не меньшего, чем бесконечно малые

и

Следовательно,

и

Так как то слева переменная не ограничена, а справа ограничена, что невозможно, поэтому невозможен случай а). Невозможен и случай г). Действительно, заменяя из (9.9) получим

Здесь должно быть Но тогда

в (9.10) слева переменная не ограничена, а справа ограничена, что невозможно.

Покажем, что случай в) также невозможен. Так как при то в конечном счете принимают определенные знаки и Поэтому функция изменяется монотонно, так как, согласно (9.8),

при сохраняет знак. Другими словами, при имеет предел. Случаи б), в) и г) невозможны и при т. е. невозможно решение системы (9.6), обладающее свойством при так, что не имеет предела или конечное при К такому выводу мы приходим немедленно после замены в уравнениях и рассматривая решение, обладающее свойством при так как только что проведенные рассуждения нигде не меняются. Заметим еще, что система (9.6) не имеет и такого решения, что (конечное) и при Это мы получим непосредственно из системы (5.6) после замены независимой переменной К этому выводу мы придем и всякий раз, когда вообще в системе (5.1) функции

ограничены при и при для конечных значений х и либо первая стремится к нулю в силу либо вторая стремится к нулю при Мы также видим, что система (9.6) не имеет решения, обладающего свойством (конечное) при Все эти рассуждения приводят нас к следующим выводам относительно решений системы (9.6).

I. Существуют решения системы (9.6), которые обладают свойством (конечное), а при (конечное) или (конечное) при (конечное).

II. Не существует решений, обладающих этими свойствами при

III. Не существует движений, обладающих свойством

IV. Не существует движений, для которых или или оставалось бы неопределенным при (конечное).

V. Не существует решения, точка которого по спирали К Движение ограничено при если полярный угол не ограничен.

Всякое движение, определяемое системой (9.6), обладает одним из свойств: либо оно ограничено и тогда оно существует при всех (согласно теореме 6.1 главы III), либо оно непродолжимо для тогда оно асимптотически приближается к прямой при или к прямой при когда Здесь, таким образом, обнаружены и такие свойства решений системы (9.6), которые получены в теореме 1.2 этой главы, хотя условия теоремы 1.2 для системы (9.6) не выполнены. Это показывает, что условия теоремы 1.2 лишь достаточные для того, чтобы решения системы обладали свойствами, высказанными в теореме 1.2.

Пример.

В § 9 главы XI мы показали, что точка покоя этой системы асимптотически устойчива и в кольце, ограниченном окружностями имеется и притом только одно периодическое решение (замкнутая интегральная кривая). Через окружность проходят решения стремящиеся к началу координат при через окружность решения выходят во вне этой окружности. Для этой системы, очевидно, выполнены условия теоремы 1.2 этой главы, поэтому всякое решение этой системы либо ограничено (и, следовательно, существует в промежутке либо при Для этой системы, очевидно, имеем поэтому существуют решения, обладающие свойством или при Остается открытым вопрос о существовании решений, обладающих свойством

Из (9.11) имеем

Пусть Существует ли такое решение со свойством - конечное или При такие решения есть (так как имеем решения Подставим в правую часть и предположим, что — конечное,

Отсюда найдем поэтому . Нас, таким образом, интересует существование решений, уходящих в бесконечность вдоль прямых

Введем новые переменные Тогда система (9.11) перейдет в систему

Нас интересует существование решения или Рассмотрим решение поэтому в (9.14) сделаем замену Тогда получим систему

Разделим второе уравнение (9.15) на первое

Согласно теореме 2.1 главы IX, это уравнение имеет единственное голоморфное решение, обладающее свойством при

Согласно рассуждениям, относящимся к случаю (2.36) главы IX, других решений, обладающих свойством при нет. Отсюда видим, что вдоль прямой в бесконечность уходит интегральная кривая системы (9.11), представимая в виде 2

причем этот ряд сходится при и при при достаточно больших

Так же докажем существование двух интегральных кривых, уходящих в бесконечность вдоль прямой при

Представим интегральную кривую в параметрическом виде. С этой целью запишем (9.16) в виде

Здесь Согласно теореме Ляпунова глава III), имеем решение, стремящееся к точке при :

Если возьмем то изменим только начало координат т. Можно вернуться к параметру С этой целью запишем первое уравнение (9.15) в виде

Отсюда видим, что значению можно сопоставить любое о. Вместе с (9.17) имеем рассматриваемую интегральную кривую в виде

Отсюда можно получить и

Таким образом, система (9.6) имеет однопараметрическое семейство (9.3) и (9.4), но не имеет вообще решений . Система же (9.11) имеет решения (9.3) и (9.4), а также имеет четыре решения

уходящих в бесконечность вдоль прямых Рассмотрим еще систему 1

где а — постоянная, пусть Решение с начальными условиями обладает свойством или

или

так как

Из (9.21) имеем

где С — произвольная постоянная.

Найдем по Лопиталю

Следовательно, из (9.23) имеем

Отсюда

поэтому при Для системы (9.21) в соответствии с (5.2) — (5.5) вообще имеем

В силу теоремы 5.3, если — особая точка, то обязательно имеем при Мы видели, как можно построить такое решение.

Отметим еще, что система (9.21) может иметь и продолжимые на промежуток решения. Например, для частного случая уравнений (9.21)

имеем решение

Но — особая точка.

Решения уравнений (9.21) могут иметь и бесконечное множество [7] изолированных особых точек Например, рассмотрим частный случай уравнений (9.21)

эквивалентных уравнению

Легко видеть, что все решения уравнения Риккати

будут решениями 1 уравнения (9.27). Действительно, дифференцируя уравнение (9.28) и подставляя значение х из (9.28), получим уравнение (9.27). Согласно выводам в § 11 главы XI, решение уравнения (9.28) можно записать в виде

где и, — решение системы

Так как система (9.30) линейная, то и и существуют при всех и могут быть представлены в виде рядов (§ 3, глава III)

сходящихся при всех конечных Исключая и из уравнений (9.30), получаем

Известно, что решение этого уравнения на полуоси имеет бесконечное число нулей [86, т. II]

На полуоси нулей функции нет. Таким образом, формулы (9.29) и

представляют некоторый класс решений уравнений (9.26) во всей области их существования, и мы видим, что имеется бесконечное число таких 1 особых точек что при Заметим еще, что и при всяком а решение уравнений (9.21) можно записать в виде

где и и представимы в виде рядов (9.31), сходящихся при всех конечных [VII]. А. И. Яблонский и А. П. Воробьев показали еще, что при всех целых а существует (и притом одно) рациональное решение

уравнений (9.21), где - полиномы [VIII]. А. И. Яблонский показал [VIII] еще, что уравнения (9.21) имеют всегда решение при