§ 5. Частные случаи теоремы Пикара

I. Пусть в условиях т. е. область (4.2) имеет вид

и условие Липшица (4.4) выполнено при всех из области (5.1) при одной и той же постоянной Здесь условие (4.3) отпадает. В этом случае решение, обладающее свойством (4.5), существует, единственное и определено в области

Действительно, ранее мы ограничили промежуток изменения величиной уже в формулах (4.14), чтобы значения не вышли из области (4.2), в которой определены функции Такое ограничение промежутка изменения х позволяет определить по (4.10) все приближения . Теперь нет нужды уменьшать промежуток изменения х, так как все приближения согласно формулам функции непрерывные и, следовательно, ограниченные в промежутке -поэтому не выходят из бесконечной области (5.1). Все же дальнейшие рассуждения повторяются без изменения, и мы получаем предельные функции определенными в промежутке -Теперь лишь можно поставить вопрос о том, какими числами ограничены при Это можно сделать на основании оценки (4.19) и ряда (4.21), если принять во внимание, что

II. Область (4.2) имеет вид

и условие Липшица (4.4) выполнено во всей области (5.3) с одной постоянной . В этом случае система (4.1) имеет решение, удовлетворяющее условию (4.5), где любые

конечные числа, и решение будет определено в любом промежутке — так как теперь мы имеем и случай I, в котором а — любое положительное число.

Замечание 5.1. Если в области (5.3) вместо условия (4.4) выполнено условие

где непрерывная функция, то в области (5.1) при любом а выполняется условие Липшица с постоянной откуда снова следует существование непрерывного решения в области —

Пример 5.1.

где — полиномы от своих аргументов, непрерывные функции в промежутке Здесь, очевидно,

во всем бесконечном пространстве и — некоторая постоянная, т. е. имеем случай II. Решение с любыми конечными условиями существует в промежутке и получается в виде рядов (4.21), сходящихся равномерно в промежутке при любом

Пример 5.2.

определены и непрерывны в области (5.3). Пусть еще , являются непрерывными периодическими относительно соответственно с периодами Тогда во всей области (5.3), и потому решение системы существует в промежутке — с любыми конечными начальными условиями Коши

Пример 5.3.

где непрерывные в промежутке Здесь мы имеем случай I, так как поэтому система (5.7) имеет решение с начальными значениями где любые конечные числа, а любое из промежутка Если же коэффициенты непрерывны в промежутке

то и решение с любыми конечными начальными условиями будет определено и непрерывно в промежутке (5.8), так как здесь промежуток можно взять любым конечным.

Пусть, например, в системе — рациональные функции, т. е.

где Q — вещественные полиномы. Тогда в качестве промежутка можно взять любой, где а и не являются вещественными корнями полиномов и нет вещественных корней этих полиномов внутри этого промежутка. Если же нет на вещественной оси х корней полиномов то имеем II случай, т. е. при любых конечных начальных значениях решение системы (5.7) существует в промежутке

Замечание 5.2. Здесь по методу Пикара получим решение в более широком промежутке, чем по теореме Коши, так как ряд Пикара сходится в промежутке ряд Тейлора — в теореме Коши лишь при , где — расстояние от до ближайшего корня знаменателей

Замечание 5.3. Если имеем уравнение (3.16), где непрерывны в области уравнение (3.16) имеет единственное решение с начальными условиями где произвольные числа. Это решение существует и непрерывно в области и представимо в этой области рядом Пикара. Если непрерывны на всей вещественной оси х, то таким будет и указанное решение.