§ 2. Однородное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами

Теперь найдем линейно независимых решений уравнения (2.1) в виде элементарных функций. Будем искать решение в виде

Имеем Подставляя выражение (2.2) в уравнение (2.1), получаем

где

Этот полином называется характеристическим. Так как , то, как видно из (2.3), должно быть

чтобы функция (2.2) была решением, т. е. к должно быть корнем полинома . Эти корни называются характеристическими числами уравнения (2.1).

Предположим, что корни — вещественные различные. Тогда имеем решений

которые будут линейно независимыми, так как система этих функций есть частный случай системы (1.30), когда Впрочем, здесь непосредственно можно найти определитель Вронского

так как — различные. Кстати, отсюда видим, что при , если Итак, в этом случае решения (2.6) линейно независимые, поэтому общее решение уравнения (2.1) имеем в виде

Если то, как видно из (2.7), все решения уравнения (2.1) обладают свойством

Если же только при то свойством (2.8) обладает -параметричеекое семейство решений

Спрашивается, как можно охарактеризовать то пространство начальных значений при которых решение (2.7) в этой случае обладает свойством (2.8). Чтобы решить такой вопрос, составим, исходя из (2.9), равенства

Равенства (2.9) и (2.10) можно рассматривать как алгебраических линейных неоднородных уравнений с неизвестными и с расширенной матрицей

Для того чтобы при заданных уравнения (2.9) и (2.10) были совместны, необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю характеристических миноров

Мы здесь сократили на множитель 0. Эти равенства для и являются необходимыми и достаточными условиями, при которых решения (2.7) обладают свойством (2.8).

Пусть теперь различные, но среди них есть и комплексные, например, пусть Тогда, так как коэффициенты уравнения (2.5) вещественные, должен быть и сопряженный корень В этом случае мы можем записать общее решение снова в виде (2.7). Но теперь в (2.7) входят и комплексные числа. Общее решение (2.7) теперь имеет вид где — вещественные функции. Согласно замечанию 1.4, при вещественных начальных значениях должно быть Из уравнений

мы найдем единственные значения поэтому окончательно, когда найденные значения подставим в (2.7), решение (2.7) будет вещественным. Но можно общему решению придать и вещественный вид. Действительно, рассмотрим слагаемые

где — новые постоянные. Следовательно,

Согласно только что сделанному замечанию, здесь для вещественных значений найдем вещественные, так как у будет вещественным. Можно сказать и так: так как -решение, то, согласно замечанию

— также решения, порождаемые парой комплексных корней (корень очевидно, порождает эти же решения).

Случай кратных корней уравнения (2.5). Предположим теперь, что среди корней уравнения (2.5) есть -кратный Возьмем производную по X от левой и правой частей тождества (2.3). При этом имеем

так как это означает лишь перестановку порядка дифференцирования по х и по X, что, очевидно, здесь допустимо. Итак, берем производную по X от тождества (2.3), пользуясь при дифференцировании правой части формулой Лейбница:

где — биномиальные коэффициенты:

Так как — корень кратности т., то, как известно из алгебры, имеем

Отсюда следует, что правая часть (2.13) обращается в нуль при при Это означает, что мы имеем решения

Другими словами, -кратный корень уравнения (2.5) порождает решений (2.14). Отсюда следует, что если различные корпи уравнения (2.5) соответственно кратности так что то общее решение уравнения (2.1) имеет вид

где — полиномы от х степени соответственно с произвольными постоянными коэффициентами. Вся группа решений вида (2.14), соответствующая всем линейно независима, так как это система функций вида (1.30). Если среди имеется комплексное то должно быть и сопряженное той же кратности. Общее решение в этом случае можно записать снова в виде (2.15), так как при вещественных значениях мы найдем такие значения произвольных постоянных коэффициентов, при которых решение (2.15) будет окончательно вещественным. Но можно указать в этом случае и вещественную систему линейно независимых решений. Именно пусть корни кратности т. Тогда имеем решения Так как — решение, то согласно замечанию 1.4,

— также решения, и притом вещественные. Если и — чисто мнимые, т. е. то имеем решения

Повторяя рассуждения, проведенные относительно решения (2.7), когда имеются комплексные Я, покажем, что новая система решений будет линейно независимой. Этим доказана Теорема 2.1. Каждый вещественный корень Я кратности уравнения (2.5) порождает решения (2.14), пара комплексных корней кратности порождает решений (2.16). Если т. е. — чисто мнимые то им соответствуют решения (2.17). Все эти решений, соответствующие всем корням уравнения (2.5), будут линейно независимыми.

Таким образом, в общем решении вещественному корню А кратности соответствуют слагаемые

комплексным сопряженным

и чисто мнимым

где произвольные постоянные.

Теперь можно задаться вопросами:

1. Сколько имеет уравнение (2.1) решений, обладающих свойством

2. Сколько ограниченных решений имеет уравнение

3. Сколько периодических решений имеет уравнение На все эти вопросы легко ответить, пользуясь структурой общего решения на основании формул Как и в случае (2.7), можно указать то пространство начальных значений в котором начинаются решения, обладающие свойством 1, 2 или 3.

Таким образом, во всех случаях общее решение уравнения (2.1) мы находим в элементарных функциях. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) позволяет найти решение и неоднородного уравнения

при всех Но можно иначе найти частные решения этого уравнения при некоторых Пусть

где — полиномы степени и Тогда частное решение уравнения (2.22) можно искать в виде

где — снова полиномы степени с неопределенными коэффициентами, если не является корнем

уравнения (2.5). Если же — корень уравнения (2.5) кратности то

Здесь степень полиномов должна быть взята наибольшая из степеней полиномов Если, в частности,

то

если не является корнем уравнения (2.5), и

если корень уравнения (2.5) кратности В случае

следует взять

если а не является корнем уравнения (2.5), и

если — корень уравнения (2.5) кратности Если

то

если не является корнем уравнения (2.5), и

если — корень кратности уравнения (2.5).

Во всех случаях неопределенные коэффициенты полиномов можно найтиподставляя в уравнение (2.22) и после сокращения на множитель сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа при Но надо помнить, что такой метод нахождения частного решения уравнения (2.22), метод неопределенных коэффициентов, применим лишь в тех случаях, когда имеет указанный нами вид. При любом частное решение неоднородного уравнения можно найти по методу Лагранжа.

Замечание 2.1. Можно следующим образом решить вопрос о том, когда введением новой независимой переменной

уравнение (1.2) преобразуется к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. Имеем

Здесь пропущены слагаемые, содержащие линейно Подставляя эти значения после сокращения на получаем

Так как здесь коэффициенты должны быть постоянными, то

где А — постоянное. Отсюда

Таким образом, если возможно преобразовать уравнение (1.2) к линейному уравнению с постоянными коэффициентами при помощи новой независимой переменной то это можно сделать только при помощи определенной формулой (2.35).

Спрашивается, какой вид должно иметь уравнение (1.2), чтобы его возможно было преобразовать так к уравнению с постоянными коэффициентами?

Рассмотрим уравнение (1.2) второго порядка

Подставим сюда значения у и из (2.34)

Отсюда получим

где А и В — постоянные. Подставим в первое уравнение

Если удовлетворяют этому равенству, то уравнение (2.36) преобразуется к уравнению с постоянными коэффициентами. Так же можно решить вопрос и для уравнения порядка !.

Пример. Показать, что уравнение (Эйлера)

с постоянными преобразуется к уравнению с постоянными коэффициентами заменой

Уравнение (Чебышева)

приводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой