§ 5. Второй метод Ляпунова

Ляпунов создал некоторый общий метод решений вопросов устойчивости, не требующий построения решений заданной системы. Этот метод носит название второго метода Ляпунова. Докажем сейчас три основные теоремы Ляпунова, лежащие в основе этого метода.

Пусть задана система

в области

так, что через каждую точку этой области проходит и притом только одно решение. Будем рассматривать функцию определенную, непрерывную и ограниченную в области (5.2), т. е. удовлетворяющую неравенству

Эту функцию будем называть знакопостоянной, если в любой точке области (5.2) имеем или если, наоборот, Если эта функция не содержит и обращается в нуль только в точке то

будем ее называть определенно-положительной, если при и определенно-отрицательной, если Если имеем обращающуюся в нуль при и обладающую свойством где - определенно-положительна, то и будем называть определенно-положительной. Если же обращается в нуль при где определенно-положительна, то называется определенно-отрицательной.

Если по всякому можно указать такое что

то будем говорить, что допускает бесконечно малый высший предел (бмвп) х. Но для произвольного всегда, если даже нет бмвп, имеем

при достаточно малых так как — непрерывная функция.

Будем называть

производной в силу уравнений (5.1). Функции V с такими свойствами называются функциями Ляпунова.

Теорема 5.1. Если для уравнений (5.1) можно указать такую определенно-положительную функцию что то решение устойчиво.

Доказательство. Согласно определению V, существует определенно-положительная функция такая, что

Пусть -начальные значения решения уравнений (5.1) и

В силу непрерывности при малых имеем и

Рассмотрим теперь где — рассматриваемое решение уравнений (5.1).

В силу имеем

причем здесь можно сделать как угодно малой при достаточно малых (согласно

Пусть для имеем при Здесь так как только при При так как в точке обращается в нуль и непрерывна. Наоборот, при будет так как иначе было бы при что противоречит при Так как в можно сделать как угодно малой, полагая и 6 достаточно малой, то при таком выборе будет и

где — произвольно малое. Это и означает, что решение устойчиво.

Теорема 5.2. Если — определенно-положительная и допускает бмвп, определенно-отрицательная, то нулевое решение асимптотически устойчиво. Доказательство. По предположению,

Из (5.8) получим

Здесь устойчивость нулевого решения обеспечена теоремой 5.1, т. е. имеем при . Предположим, что нет асимптотической устойчивости. Тогда либо при всех либо при имеем

В первом случае имеем Следовательно,

При увеличении встретим такое, что что, очевидно, невозможно.

Во втором случае, как и (5.9), получим

так как имеет .

Но отсюда следует при Заметим, что как в первой теореме, так и во второй продолжимость решений обеспечена при так как при остается в области

Теорема 5.3. Предположим, что можно найти обладающую свойствами:

1. V имеет бмвп.

2. В области

V имеет определенно-положительную производную

в некоторых точках у, как угодно близких от начала координат.

Тогда нулевое решение неустойчиво. Доказательство. Согласно в области (5.11) при всех имеем

Пусть

откуда в силу (5.12)

для всех пока имеем (5.11) и, следовательно, (5.12). Возьмем как угодно малые по модулю, но такие, что

Тогда при согласно (5.15), имеем

так как иначе, ввиду того что при было бы, в конце концов, чего нет согласно (5.15). Но при условии (5.16) будет так как , согласно (5.12), определенно-положительная. Следовательно, из (5.14) имеем

Это нарушает условие (5.13), откуда следует, что, как бы мало ни было обязательно выйдет из области (5.11). Это и означает неустойчивость нулевого решения уравнений (5.1).