ГЛАВА VI. ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ

§ 1. Устойчивость по Ляпунову

Рассмотрим систему уравнений

где у и — векторы:

и

т. е.

является решением уравнений (1.1). Решение (1.3) называется устойчивым если по всякому можно указать такое что при

будет

Другими словами, это непрерывная зависимость решений от начальных значений но во всем бесконечном промежутке

Ранее мы рассматривали это для конечного промежутка .

Правда, мы указали и такой случай, когда с уменьшением увеличивался промежуток для в котором имеет место (1.4). Если, кроме (1.5), решение обладает и свойством

то нулевое решение (1.3) называется асимптотически устойчивым.

Таким образом, здесь рассматриваются такие системы (1.1), все решения которых, начинающиеся в окрестности начала

координат, существуют в бесконечном промежутке Но если даже только непрерывна в области то существование решений в промежутке вытекает из свойства устойчивости (1.4), так как при этом решение не выходит из области Такая продолжимость решений гарантируется леммой 6.1 главы III, так как там указано, что непродолжимость на промежуток появляется только тогда, когда при и в точке имеет разрыв. Но при условии (1.5) это невозможно. Следует сказать, однако, что переход от конечного промежутка, в котором рассматривается непрерывность решений от начальных значений, к бесконечному промежутку резко меняет характер задачи и метод исследования вопроса. Отметим еще, что вопрос об устойчивости можно ставить не только для нулевого решения (1.3).

Пусть дано какое-нибудь решение уравнения определенное в промежутке Это решение будет устойчивым, если всякое другое решение обладает свойством 1

при

Если, кроме (1.7), имеем еще

то рассматриваемое решение называется асимптотически устойчивым. Но вопрос об устойчивости решения сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения. Действительно, введем новый вектор и равенством Подставим это в (1.1):

Таким образом, имеем уравнение

для которого, очевидно, есть решение и вопросы об устойчивости этого нулевого решения и решения равнозначны.

Замечание 1.1. Может случиться так, что все решения уравнения (1.1) обладают свойством (1.6), а нулевое решение

(1.3) не является устойчивым [44]. Это значит, что имеются такие что не будет выполняться неравенство (1.5), каким бы малым ни брать 6 в (1.4). Другими словами, свойства решений, характеризуемые неравенствами (1.4), (1.5), и свойство (1.6) независимы.

Теория устойчивости впервые создана Ляпуновым и изложена в его знаменитой диссертации «Общая задача об устойчивости движения» [57]. Мы в следующем параграфе рассмотрим один такой случай системы (1.1), когда вопрос об устойчивости нулевого решения решается.