§ 7. Конструктивное доказательство существования периодического решения системы (6.1) методом Каменкова (т. е. на основании § 4)

Изменим знак переменной х. Тогда система (6.1) примет вид

Здесь в соответствии с § 4 Согласно формулам (4.3),

Докажем существование периодического решения уравнений (7.1) (и тем самым уравнения методом Каменкова. Построим функцию (4.5)

Согласно формулам (4.9), (4.10),

Следовательно, (7.4) имеет вид

Равенство (4.11) можно записать в виде

Корнями V уравнения будут Корень — положительный и нечетной степени, поэтому, согласно теореме 4.1, уравнения (7.1) имеют периодическое решение вблизи кривой (7.5) (при малых при

Но эта замкнутая кривая не [является интегральной, соответствующей периодическому решению уравнений (7.1), она лишь приближено представляет эту интегральную кривую при малых Из (7.6) и (7.2) найдем

где дано равенством (7.5). Если мы найдем отсюда и подставим в (7.5), то будем иметь уравнение интегральной кривой Если же в (7.5) подставим приближенное значение то получим приближенное значение интегральной кривой, соответствующей периодическому решению уравнений (7.1). Но приближенное значение V при малых согласно (7.8), мы можем получить и из уравнения

Именно отсюда найдем

Подставляя это в (7.5), находим приближенно интегральную кривую, которая будет приближаться при к интегральной кривой, соответствующей периодическому решению. Если подставим значение из (7.70 в (7.2), то получим откуда

найдем приближенно период периодического искомого решения в виде

Все это по методу Каменкова получим при достаточно малых Но существование периодического решения уравнения (7.1) мы доказали при Как можно строить это периодическое решение, как найти кольцо, в котором находится периодическое решение? Если мы построим спирали в окрестности (0, 0), то точка при приближается к предельному циклу. А кривая существование которой доказано, при приближается извне к предельному циклу. Очень скоро и внутренние, и внешние спирали будут пересекать ось у в близких точках, так как предельный цикл один, и мы увидим кольцо, в котором находится предельный цикл. Можно поступить иначе. Так как периодическому решению соответствует замкнутая интегральная кривая, то она имеет вид Представим уравнение (7.3) в виде

где значения видны из (7.3). При имеем Согласно теореме Пуанкаре—Ляпунова, уравнение (7.9) имеет решение в виде

где т. е. решение (7.10) имеет начальное условие Область сходимости ряда указана нами в главе III, § 9. Так как мы доказали существование замкнутой интегральной кривой уравнений (7.1) при то функция будет периодической с периодом поэтому в (7.10) и коэффициенты будут периодическими с периодом Отсюда следует, что решение (7.10) уравнения (7.9) можно искать, подставляя (7.10) в (7.9) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях. Теперь найденное значение в виде (7.10) подставим в уравнение (7.2). Получим

откуда и найдем период искомого периодического решения

При этом надо иметь в виду следующее. Когда мы подставим (7.10) в (7.9) и, сравнивая коэффициенты при степенях получим уравнения для нахождения коэффициентов обладающих свойствами то и найдем значение V, при котором будут обладать требуемыми свойствами: для сходимости ряда (7.10), а — для периодичности Если при этом V и найдутся однозначно, то получим единственное периодическое решение, а если не однозначно, то несколько периодических решений. Если V находится единственным образом, то единственное периодическое решение расположено при малых вблизи окружности — интегральной кривой предельного уравнения Найдем для уравнения (7.3) значение в (7.10). Уравнение (7.9) имеет вид

Здесь ямеет вид (7.10), поэтому

Сравнивая коэффициенты при первых степенях слева и справа, получим

Отсюда найдем

Для периодичности необходимо, чтобы было Очевидно, если то будут равны нулю и мы получим тривиальное решение уравнения (7.3). Значение противоречит смыслу

Остается только одно значение при котором

Легко видеть, что далее все определены однозначно. А существование периодических следует из существования периодического с периодом Следовательно, приближенно имеем

и другие приближения легко найти. Как показано выше, период Т искомого периодического решения найдем, подставляя это значение в (7.2):

откуда

Какое же значение мы имеем право брать? На этот вопрос ответим позднее.