§ 6. Матричный метод

Рассмотрим теперь систему (5.1), записанную в матричном виде (4.7):

где Р — постоянная матрица коэффициентов системы (5.1) и — матрица, составленная из решений (строчка-решение).

Замечание 6.1. Если матрица-решение уравнения (6.1), то при произвольной постоянной матрице А

— также решение уравнения (6.1). Действительно, подставляя (6.2) в (6.1), получим так как

Отсюда следует, что если фундаментальная интегральная матрица, т. е. то любая интегральная матрица У может быть получена в виде (6.2). Действительно, полагая в получаем откуда При такой постоянной матрице А (6.2) в силу теоремы единственности доставляет избранную нами матрицу

Согласно (4.8), решением уравнения (6.1) будет

Эта матрица, как мы видели, доставляет фундаментальную систему решений уравнений (5.1). Получим отсюда фундаментальную систему решений в элементарных функциях. Если то, согласно (4.3),

имеем

По замечанию 6.1 решением уравнения (6.1) будет и (полагаем в (6.1)

Матрица (6.5) также доставляет фундаментальную систему решений уравнений (5.1), так как Рассмотрим сначала матрицу

Учитывая формулу

из (6.6) получаем

Отсюда видим, что матрица — квазидиагональная с элементами-матрицами Исследуем развернутый вид матрицы

Так как матрицы очевидно, коммутируют, то, согласно имеем

Рассмотрим где дано формулой (4.1) при

Легко видеть, что

Другими словами, элементы стоящие на нижней побочной диагонали, равны единице, а остальные элементы равны нулю, и где остальные равны нулю, при . Отсюда видим, что

Следовательно,

Учитывая эту формулу, мы и получаем из (6.5) на основании (6.7) фундаментальную систему решений уравнений (5.1) в виде

Этот результат совпадает с (5.21).