§ 6. Область существования решения

Из системы (4.1) непосредственно видим, что ее решение имеет непрерывных производных, если имеют непрерывных частных производных

Заметим, что, вообще говоря, можно решения рассматривать и разрывные. Например, строим решение с начальными значениями и получаем Теперь рассматриваем решение с начальными значениями так что при Можно считать решением функции совпадающие при с ранее построенным в этом промежутке решением при — с решением у и Но выше шла речь о решениях с максимально возможными непрерывными производными в рассматриваемом промежутке.

Рассмотрим теперь вопрос об области существования непрерывного решения системы (4.1), когда выполнены следующие условия:

непрерывны в некоторой области конечной или бесконечной.

2. В окрестности каждой точки

выполнено условие Липшица (4.4), но нет постоянной Липшица L для всей области она будет разной для разных точек и разных областей в окрестности этой точки, так что

Тогда, согласно доказанной теореме Пикара, для произвольной точки существует решение

обладающее свойством (4.5) и определенное в промежутке

где

в области Но теорема Пикара, гарантируя область существования решений (6.2), ничего не говорит о существовании или прекращении существования решений в большей области.

Предположим, что при и точка Тогда в окрестности этой

точки снова выполнены условия теоремы Пикара согласно предположению, и мы построим решение при Это решение будет существовать в некотором промежутке справа от т. е. в промежутке Пусть при Если то мы снова продолжим решение на некоторый промежуток Продолжая этот процесс, распространяем решение на некоторый максимальный промежуток Спрашивается, каким фактором определяется величина если сумма этого ряда конечная, то как себя могут вести то, очевидно, Н не является максимальным промежутком существования непрерывного решения что противоречит предположению. Отсюда следует, что возможны три случая:

принадлежит границе стремится к границе не приближаясь, однако, к определенной точке.

3. Точка при не приближается к границе О и не остается внутри некоторой области погруженной вместе с граничными точками в область В этом случае, очевидно, существует последовательность такая, что последовательность точек при остается внутри области т. е.

где — расстояние от точки до границы области

Если область бесконечная, то это последнее означает, что последовательность точек расположена в фиксированной конечной области так как иначе точка при , т. е. эта точка стремится к границе области Если же области — конечная (т. е. в области нет последовательности точек то само собой Но тогда, как известно, из последовательности точек можно выделить подпоследовательность Здесь

Рассмотрим некоторую область вокруг точки

При все точки и по теореме Пикара мы имеем решения

с начальными условиями Коши Эти решения при всех достаточно больших например, когда расстояние существуют в промежутке

где если Но тогда при достаточно близких к точке Н, рассматриваемое решение должно существовать и при так как точка Н попадает в область существования этого решения

Мы получили противоречие с предположением о том, что Н — максимальный промежуток существования рассматриваемого решения. Это означает, что случай 3 невозможен.

Случаи 1 и 2 возможны, другими словами, если решение не существует при то точка при При этом или приближается к определенной точке границы или сразу к некоторому множеству точек границы Тем самым эта точка не может приближаться к какой-нибудь изолированной граничной точке и к другим граничным точкам одновременно, так как это означало бы, что мы имеем случай 3.

Следовательно, если точка изолированная граничная точка области и если имеем последовательность точек

принадлежащих области и рассматриваемому решению, где то при будет и

Но если - плотное множество граничных точек области , то возможно, что точка рассматриваемого

решения попадает в как угодно малую окрестность множества точек и больше оттуда не выйдет.

Пусть, например, бесконечная область, граница которой есть кривая или поверхность уходящая в бесконечность. Тогда если решение существует только при то при либо приближается к либо просто как-нибудь Пусть есть вся бесконечная область с выключенной точкой на конечном расстоянии. Тогда если решение существует только при то при имеем:

или если Невозможно при Действительно, если , то, согласно доказанному, точка не может стремиться к конечной точке так как тогда решение существовало бы и при Если же то точка не может стремиться к конечной, отличной от так как тогда решение также могло бы быть продолженным при

Все эти рассуждения справедливы и в случае системы дифференциальных уравнений

Отсюда следует

Теорема 6.1. Пусть для системы выполнены условия теоремы Пикара в окрестности каждой конечной точки за исключением точек и, может быть, плотного множества точек .

Тогда всякое решение этой системы либо существует при всех либо при фиксированном либо попадает в как угодно малую окрестность D и там остается, либо при (конечное).

Пример. Здесь область определения дифференциального уравнения — вся бесконечная область, но нет постоянной Липшица для всей бесконечной области, так как нет постоянной L такой, чтобы было во всей области — ибо не ограничено. Следовательно, существует решение с любыми конечными начальными значениями но это решение, вообще говоря, существует

лишь в каком-то промежутке, отличном Действительно, непрерывное решение с начальными значениями имеет вид

и существует в промежутке или Правда, есть и решение определенное во всей области — Мы выше указали такие системы, когда всякое решение существует при всех конечных значениях независимого переменного, если правые части уравнений определены во всей области. Можно указать и другие такие системы. Например, все решения системы

или системы

продолжимы на все конечные значения (см. [108]).

Мы рассмотрели теорему Пикара о существовании и единственности решений. Приведем без доказательства теорему о существовании решения задачи Коши, но без утверждения единственности такого решения.

Теорема Пеано. Если правые части системы

определены и непрерывны в области то для всякой точки существует непрерывное решение при определенное, крайней мере, в области где а и b определяют область в которой Причем это решение не выйдет из области при

Теорема, как видим, не касается вопроса о том, сколько таких решений будет.

М. А. Лаврентьев показал, что через каждую точку этой области может проходить бесконечное множество решений. Следовательно, требуются дополнительные условия, гарантирующие единственность решения задачи Коши. Одно такое условие мы отметили в теореме Пикара — условие Липшица. Но можно указать и другие условия. Не будем на них останавливаться. Отметим лишь, что иногда указываются признаки единственности так же легко проверяемые, конструктивные, как условия Липшица, а иногда такие, что наличие единственности обусловлено наличием некоторого другого общего свойства решений, равносильного существованию единственности. Но и такие теоремы представляют, конечно, большой теоретический интерес.

Пусть — одно уравнение с одной неизвестной и определена и непрерывна в области

Рассмотрим последовательность Пикара

Если удовлетворяет условию Липшица, то равномерно где — решение дифференциального уравнения. А если только непрерывная? Пеано доказал, что непрерывное решение задачи Коши существует, по крайней мере, в промежутке и при таких х не выходит из области Но метод доказательства Пеано не конструктивен, он не строит само решение, доказывает только его существование. Кроме того, решений задачи Коши в этом случае может быть бесконечное множество. Спрашивается, будет ли последовательность Пикара иметь предельной функцией решение или нет? Если последовательность стремится равномерно к предельной функции то будет решением — это легко доказать, переходя к пределу в равенстве Но имеет ли теперь последовательность Пикара предельную функцию? Согласно теореме Арцеля [72], во всяком случае, из последовательности можно выделить частичную последовательность стремящуюся равномерно к некоторой предельной Но будет ли решением? Ведь теперь невозможно в переходить к пределу при так как

И еще. Как мы отметили (при условии Липшица), если в последовательности Пикара за взять любую непрерывную функцию, не выходящую при из области А то последовательность Пикара будет другой, но снова будет сходиться равномерно к единственному решению А теперь? Может быть, каждому из решений, проходящих через точку соответствует своя функция которая порождает последовательность Пикара стремящуюся к соответственному решению. И если это так, то каково допустимое множество этих Может быть, это множество и является дополнительной характеристикой, определяющей Тогда как по множеству построить и наоборот?

Заметим еще, что в природе многие явления протекают вполне определенным образом, т. е. какие-то факторы всегда обусловливают единственность, определенность процесса. Эти факторы, конечно, весьма различны. Но в науке, в математике, в сущности стоит вопрос так. Нам что-то известно об условиях, в которых протекает процесс. Что можно сказать об этом явлении, исходя из известных условий; какие свойства явления этими условиями вполне определены? Возвращаясь к уравнениям (6.6), где — непрерывные, можно поставить вопрос: что можно сказать о решениях такой системы, предполагая известной лишь непрерывность Теорема Пеано утверждает, что гарантируется существование решения задачи Коши для любой точки области. М. А. Лаврентьев [52] показал, что через каждую точку пройдет, вообще говоря, бесконечное множество решений и даже множество континуум. Это показывает, что и условий единственности существует бесконечное множество, так как каждое из решений обусловлено каким-то определенным дополнительным свойством

Таким образом, если имеем несколько условий единственности, то возникает вопрос о том, будут ли они разные, т. е. порождают ли они одни и те же решения или порождают решения с какими-то различными свойствами? Мы поставим вопрос следующим образом: пусть в системе — непрерывные функции. Согласно теореме Пеано, для всякой точки в области имеется решение задачи Коши. Согласно М. А. Лаврентьеву, оно не единственно. Но что можно сказать еще относительно поведения решений в области не делая дополнительных предположений относительно

В теореме Пеано гарантируется существование решения в промежутке Такое решение не единственно. Возьмем какое-нибудь из них: и предположим, что при Тогда это решение можно непрерывно продолжить для если точка находится в непрерывности Но это продолжение снова не единственно. И снова, как и при условиях Пикара, возникает вопрос: какие случаи здесь возможны при непрерывном продолжении на промежуток До какого значения это продолжение возможно, и если только для решение непрерывно продолжить невозможно, то как себя могут вести при

В случае условий теоремы Пикара это продолжение возможно единственным образом. Теперь это продолжение содержит большую неопределенность, оно многозначно, его можно осуществить бесконечным числом способов. И возникает вопрос: теперь нет ли возможности продолжать при так, что точка не стремится к границе области непрерывности Оказывается, что и теперь, в предположении лишь непрерывности если решение непродолжимо для то при точка попадает в как угодно малую окрестность границы области и потом не покидает ее. Другими словами, невозможен случай, когда при точки находятся в некоторой конечной замкнутой области т. е. при точка имеет пределом или одну из изолированных граничных точек области или некоторое плотное множество граничных точек. Если, в частности, область вся бесконечная, то при будет Этим доказана 8

Лемма. 6.1. Если решение системы (6.6) при возрастании (убывании) х остается в замкнутой области где — непрерывные, то это решение непрерывно продолжимо (и в случае условий теоремы Пикара единственным образом) для всех (или ).

Другими словами, здесь имеем то же самое, что и при условиях теоремы Пикара: точка при не может не иметь предела или иметь точку сгущения в области которая не является предельной, т. е.

не является такой, что просто при

Пример. Система х — задана в области с исключенными точками плоскости Решение стремится к границе области непрерывности правых частей дифференциальных уравнений: при Можно указать и такие системы, в которых правые части лишь непрерывны и удовлетворяют таким дополнительным условиям, которые гарантируют существование решений при всех конечных значениях независимой переменной но не гарантируют единственности решения. Например, пусть задана система (теорема Винтнера)

где — непрерывные функции во всей бесконечной области

и удовлетворяют неравенствам

а

Тогда все решения этой системы непрерывно продолжимы на промежуток —

Доказательство. Замечая, что

легко получаем из заданной системы

Для промежутка имеем так как Следовательно,

Отсюда видим, что при будет и т. е. решение

уходит в бесконечность только при Для также получаем

Отсюда видим, что при будет

Вернемся к системам (6.5), Все решения этих систем продолжимы на всю область но там нет даже непрерывности правых частей, так как на поверхностях или правая часть разрывна. Можно привести многие другие системы, правые части которых лишь непрерывны, а все решения непрерывно продолжимы на весь промежуток.

Далее покажем, как можно построить решение во всей области существования.