§ 15. Частные случаи дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно у'

I. F (у) = 0. Отсюда имеем где — постоянные, и, следовательно,

есть общее решение. Но

Подставляя это в I, получим общее решение в виде

Если найдем то общее решение найдем в виде

Иногда удается дифференциальное уравнение (15.1) представить в параметрическом виде, т. е. найти такие функции

что

В этом случае общее решение можно найти следующим образом. Из равенств (15.2) имеем

Отсюда получаем общее решение

из которого получим и решение задачи Коши, определяя при значение из уравнения затем при значение С из первого равенства (15.3).

Замечание 15.1. В каком месте здесь может сказаться то, что уравнение (15.1) многозначное относительно у? Может оказаться, что из равенства найдем значений — одно значение. А может быть, имеем одно но

Частным случаем уравнения (15.1) является уравнение

Тогда, полагая

имеем

Общее решение найдем так же, как в случае (15.2). Можно, в частности, положить Тогда получим

Если имеется такая постоянная а, что или то имеем решение уравнения (15.1). Это решение будет особым, если в (15.7) принимает значение при каком-нибудь так как тогда все решения (15.7) проходят через точки лежащие на решении Например, пусть

— особое решение, так как все решения проходят через точки прямой при Здесь

Замечание 15.2. Заметим, что важно проследить за тем, чтобы, параметрическое представление (15.2) содержало

все ветви кривой (15.1) (если рассматривать как координаты кривой на плоскости Может случиться, что параметрическое представление (15.2) будет различным для разных ветвей кривой (15.1).

Пример.

Функции

очевидно, представляют параметрически уравнение (15.8), и получаем

Но (15.9) охватывает только ту ветвь уравнения (15.8), для которой

Чтобы охватить все ветви, положим

где — параметр. Теперь из (15.8) на основании (15.11) найдем

В промежутке вблизи будет и, следовательно, — чисто мнимое, у вблизи будет вещественным, но — чисто мнимое. Следовательно, где — вещественные функции при вещественном т. Так как, согласно (15.11), принимает только вещественные значения (ибо х и у — вещественные), то мы не имеем здесь решения уравнения (15.8). Имеется, однако, бесконечное множество промежутков изменения удаляющихся в бесконечность, для которых х и у принимают вещественные значения. Например, таким промежутком будет где — корень уравнения:

Для таких промежутков имеем откуда легко получим общее решение соответствующих ветвей уравнения (15.8).

Упражнения. Рассмотреть уравнения:

Показать, что решение особое.

Замечание 15.3. Пусть дано дифференциальное уравнение где разрешимо относительно разрешимо относительно Тогда имеем Если разрешимо относительно разрешимо относительно то также получим Так же можно рассмотреть уравнение Именно такой случай мы имели в примере (15.8).

Уравнение

где — однородные функции соответственно степени тип, представимо параметрически при помощи замены

Если отсюда удается найти

то общее решение найдем в виде

и решения

если Решение (15.15) будет особым, если сходится, так как тогда через все точки решения (15.15) проходит кривая из семейства (15.14), именно кривая при

Здесь х — произвольное фиксированное.

Предположим, что удается найти такие функции

что Тогда имеем уравнение III в параметрическом

виде. Мы должны, однако, получить в виде (15.16) все ветви уравнения III.

Из уравнений (15.16) общее решение в параметрическом виде можно получать так:

Чтобы решить задачу Коши, найдем из равенства

а затем С из равенства

Предположим, что Тогда — решение уравнения III. Если и интеграл в (15.17) при сходится, то через каждую точку решения проходит кривая из семейства (15.17) при

Здесь х — произвольное фиксированное. Следовательно, в этом случае решение особое. Многозначность значений у, определяемых равенством III, скажется либо в многозначности значений либо в многозначности значений определяемых из

Пример, Можно положить Тогда из найдем два значения если Но имеет одно значение. Если же положим то, как видим из имеем одно значение имеет два значения.

Пример, Здесь можно у а у выразить через параметр в виде рациональных функций так: полагая получаем

откуда легко находим общее решение в виде (15.17).

Рассмотрим уравнение

и предположим, что можно найти функции

тождественно удовлетворяющие уравнению (15.20):

Покажем, что в этом случае интегрирование уравнения (15.20) приводится к интегрированию уравнения, разрешенного относительно производной.

Из (15.21) имеем

поэтому можно написать

Отсюда найдем

Это и есть уравнение, разрешенное относительно производной. Пусть — общее решение уравнения (15.22). Тогда общее решение уравнения (15.20) имеем в виде

Если - особое решение уравнения (15.22), то получим еще решение

которое может оказаться особым.

Частные случаи уравнения (15.20):

Здесь можно полагать что является частным случаем (15.21).

Тогда имеем

Уравнение Лагранжа — частный случай уравнения II.

. Уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа.

Рассмотрим уравнение Лагранжа III. Имеем

Отсюда

Рис. 6

Это линейное уравнение, общее решение которого найдем в виде и общее решение уравнения Лагранжа в параметрическом виде

Если при вещественных то имеем еще решения

которые могут оказаться особыми.

Пример.

Это уравнение, как видим, задано в области но мы

будем считать уравнение заданным в заштрихованной области и на оси х, исключая точку

Отметим сразу, что граничные прямые являются решениями, где - решение уравнений

а - только решение уравнения (I), так как Итак, в рассматриваемой области имеем два уравнения (I) и (II). Если считаем уравнения заданными и в области т. е. на оси х в виде то имеем еще решение проходящее вне основной области (заштрихованной). Если же считаем уравнения (I) и (II) заданными только в заштрихованной области, то не будет решением, так как лежит вне области задания уравнений. Следуя общему правилу, напишем откуда

Сокращаем на множитель (случай мы уже рассмотрели) Остальное перепишем в виде

Это уравнение с разделяющимися переменными. Имеем Здесь в соответствии с уравнением III поэтому уравнение имеет корни которым и соответствуют на основании Общее решение в переменных и и —

поэтому

и есть общее решение в параметрическом виде. Так как то есть решение уравнения (I) при и уравнения (II) при Впрочем, это видно из значения параметра и уравнений (I) и (II). Кроме того, — решение уравнений (I) и (II) в области (где и при при — в области Пусть (т. е. Тогда при имеем т. е. интегральная кривая асимптотически приближается

к интегральной прямой При будет т. е. интегральные кривые входят в точки решения поэтому здесь единственность решения нарушается. Следовательно, согласно определению, граничная интегральная прямая не является особой, а прямая особое решение уравнения (I) (так как брали параметр При снова , поэтому прямая и для уравнения (II) — особое решение. Мы имеем еще при откуда т. е. при интегральная кривая уравнения (II) входит в точку прямой Но эта прямая не является интегральной для (II), поэтому и здесь нет нарушения единственности решения. Мы то же получим в области Прямая как мы видели, либо не является решением (если уравнения (I) и (II) не заданы на прямой либо проходит вне основной области задания, в связи с чем не может быть особой. Но это решение не получается из общего при частном значении С и поэтому с первой точки зрения — особое. Если же будем считать уравнение заданным в области то из области в точки решения входят интегральные кривые при Тогда и прямая будет особым решением по второму определению.

Пример,

или

Полагаем

Отсюда находим

или

Следовательно, имеем общее решение

и еще решение

так как при при ибо значение корня в (15.26) арифметическое.

Найдем значение корня в (15.26), подставляя туда значения

Согласно (15.28) и (15.26), должно быть

Сопоставляя это с (15.32), видим, что х и у, данные формулами (15.30), удовлетворяют I уравнению в области

и II уравнению в области

Обе интегральные кривые встречаются в точках кривой при в чем легко убедиться. Эта встреча происходит при Легко видеть, что дифференциальные уравнения I и II заданы в области , т. е. сверху от параболы Найдем точку пересечения кривой (15.30) с осью х, т. е. с интегральной кривой (15.31) (рис. 7). Имеем

Подставим это в первое из равенств (15.30). Получим Следовательно, из (15.35) имеем

Последнее равенство перепишем в виде

Отсюда видим, что при интегральную кривую пересекает интегральная кривая I уравнения, так как в области (-интегральная кривая I уравнения. Но в области прямая не является интегральной для уравнения I, поэтому в точках при не нарушена единственность решений.

Рис. 7

При имеем поэтому в области решение пересекается интегральной кривой II уравнения. Но в этой области является решением I уравнения, поэтому снова нет нарушения единственности решения.

В точках параболы как мы отметили, встречаются интегральные кривые I и II уравнения. Но точки не составляют решения уравнения (15.25). Этим показано, что уравнение (15.25) не имеет особых решений, согласно их определению в

Отметим еще, что формально из (15.30) при (или при если в (15.30) положим получим о откуда найдем решение

Рассмотрим теперь уравнение IV. Имеем

откуда

Первое равенство доставляет решение

а второе

Это последнее является общим решением. Покажем, что (15.36) является особым решением.

Возьмем на решении (15.36) произвольную точку

откуда

Проведем через эту точку интегральную прямую (15.37), для чего найдем С из равенства

Из видим, что Итак, интегральная прямая

проходит через точку на интегральной кривой (15.36). Мы видим, что для (15.36) и (15.39) соответственно будет

т. e. прямая (15.39) касается кривой (15.36) в точке Итак, через каждую точку интегральной кривой (15.36) проходит интегральная прямая из семейства (15.37), которая будет касательной. В точках интегральной кривой (15.36) нарушается единственность решения.

Легко также показать, что интегральная кривая (15.36) не может быть получена из (15.37) при частном значении С. Действительно, из (15.36) имеем Если это совпадает с то

должно быть тождеством, что невозможно, так как С — постоянная, переменный параметр (иначе (15.36) не совокупность точек, а лишь одна точка).