§ 8. Метод неподвижных точек

Существование решения задачи Коши мы доказывали двумя методами: методом Пикара и методом Коши. В обоих случаях нам удавалось не только доказать существование решения, но и построить его в виде сходящихся рядов. Однако это не всегда возможно. Например, удается доказать существование решения задачи Коши для уравнения

где предполагается лишь непрерывной, но не удается его построить (см. [60, 64, 72]). Здесь мы пользуемся другими методами доказательства. Укажем на метод доказательства существования решений, обладающих тем или иным свойством, основанный на теореме о существовании неподвижной точки преобразования области в себя.

Теорема Боля — Брауэра. Пусть шар непрерывно отображен в себя с помощью оператора

т. е. каждой точке отвечает точка причем функция непрерывна. Тогда по крайней мере одна точка переходит в себя, т. е.

Замечание 8.1. Теорема Боля — Брауэра справедлива, если вместо шара взять выпуклую область - (Область ) называется выпуклой, если точки отрезка прямой, соединяющей две любые точки этой области, лежат в

Замечание 8.2. Если множество всех точек составляет часть то неподвижная точка -единственная, или если

где означает расстояние между точками а и b области то — единственная. Намного более общей теоремой является теорема Тихонова (см. [64]). Мы уже видели, что если дана система

и есть решение обладающее свойством

то это решение будет периодическим с периодом Принцип неподвижной точки Боля — Брауэра и позволяет обнаружить решение обладающее свойством (8.2). Именно в качестве оператора преобразующего некоторую область в себя, можно рассматривать преобразование вида

так как здесь точка преобразуется в точку Если при этом точки области переходят в точки этой же области и если область выпуклая, то, согласно теореме Боля — Брауэра, существует неподвижная точка откуда будет следовать существование периодического решения с периодом Надо, следовательно, для рассматриваемой системы дифференциальных уравнений найти выпуклую область переходящую в себя. Такую область можно обнаружить, например, при помощи функции Ляпунова или Именно, пусть обладает свойствами:

1. Неравенство

определяет конечную область (может быть, окружающую точку которую будем в этом случае включать в область даже в том случае, если ограниченную замкнутой поверхностью

на границе области 1.

3. Прямые, проходящие через точки области, пересекаются с поверхностью

только в двух точках (следовательно, область выпуклая).

4. Область лежит внутри области 1.

Тогда имеем преобразование области в себя при помощи функций

где - точка, в которую переходит есть решение системы

Это преобразование короче запишем так:

Действительно, в силу условия 2 точки области 1 при таком преобразовании переходят в точки этой области 1, поэтому существует точка покоя Если в условии 2 равенство исключается, т. е.

то точка — единственная. При этом если то точкой х и будет Это, конечно, тривиальный результат. Но предположим, что в области 1 нет точки равновесия

Тогда имеем

а это означает, что имеем периодическое решение с периодом Т.

Теорема. Дана система

где обладают свойствами

Мы предполагаем еще, что во всякой конечной области выполнены условия Липшица. Тогда система имеет периодическое решение

с периодом Здесь — любое целое число, и каждому вообще говоря, соответствует своя точка

Доказательство. Имеем

Отсюда в силу условия (8.5) имеем

Очевидно, при достаточно большом имеем

поэтому

При найдется такое что

Предположим теперь, что

Тогда из (8.8) на основании (8.12) и (8.13) получим

Пусть теперь При условии (8.14) будет

при Следовательно, при достаточно большом из (8.15) имеем

Отсюда следует, что точка решения уравнений (8.4), находящаяся на сфере в момент при будет внутри этой сферы, а область преобразованием

переводится в свою часть. По теореме Боля — Брауэра при любом имеется единственная неподвижная точка

откуда следует существование периодического решения с периодом

Замечание 8.3. Из существования периодического решения с периодом со уже, конечно, следует существование периодического решения с периодом Но, может быть, существует и такое периодическое решение с периодом которое не будет периодическим с периодом .

Пример. Дана система

— полином от коэффициенты которого периодические с периодом непрерывные функции, где Очевидно, такая система удовлетворяет условиям теоремы и не имеет решения

Таким образом, мы здесь доказываем существование периодического решения, но не строим его.