§ 4. Нелинейные уравнения

Пусть теперь дана система

Из главы III мы знаем, что все решения системы (3.2) можно получить, например, по методу Пикара во всей области их существования, т. е. в области непрерывности коэффициентов (в предыдущем параграфе показано, как можно получить асимптотическое представление относительно ). Пусть — фундаментальная система решений уравнений (3.2). Введем в уравнениях (4.1) новые неизвестные функции и и V.

Подставим (4.2) в (4.1):

Так как решения линейной системы, то подчеркнутые члены сокращаются, поэтому из этих уравнений легко найдем

где в Р и Q вместо х и у подставлено (4.2). Если ограничен, то А ограничено и не стремится к нулю при (что видим из формулы Остроградского). Например, если то А — постоянное. В этом случае изучение системы (4.1) сводится к изучению системы (4.3) такого же вида, как и (4.1), но без свободного члена относительно е. Например, если система (3.2) имеет вид

то фундаментальная система решений имеет вид

определитель которой Во многих случаях проще изучать уравнения (4.3), чем (4.1). Решения уравнений (4.1) можно искать в виде (3.1). Если будем искать решения уравнений (4.3) в гаком виде, то получим

где — произвольные функции от .

Рассмотрим уравнения (4.1), ради простоты выкладок, частного вида

хотя метод и носит более общий характер. Легко видеть, что здесь интегралов будет

Учитывая это, введем новую неизвестную функцию равенствами

Подставим это в (4.6)

и сократим на

Так как ограничена, то существует при всех и, следовательно, это решение можно представить в виде сходящегося ряда Пикара. Если представимо в виде сходящегося ряда

то можно получить, согласно теореме Пуанкаре, в виде сходящегося ряда

Предположим

Например,

Мы будем искать согласно (3.3), в виде

Но сначала запишем ряд для по степеням в силу (4.14):

Подставим теперь (4.14) в (4.9), учитывая, что

Сравнивая здесь коэффициенты при одинаковых степенях справа и слева, получаем

Вообще говоря, мы могли бы написать и так:

Таким образом, при определении коэффициентов ряда (4.14) появляются произвольные функции которыми по-разному можно распорядиться. Можно найти затем, полагая

и подставляя это в уравнение (4.15), получить дифференциальное уравнение для , из которого оценим Положим, например,

где определено в виде (4.16). Тогда из (4.9) имеем

Здесь подчеркнутые члены сокращаются. Разделим еще на множитель 6. Тогда получим

Отсюда имеем

Пусть

Тогда Следовательно, имеем приближенно при ошибка не превосходит

Положим теперь

где определены равенствами (4.16) и (4.17). Подставим (4.27) в (4.9)

После сокращения на основании (4.16) и деления на получим

На основании (4.17) это можно записать так:

Пусть — решение уравнения

Так как в силу (4.17)

то

Отсюда

Пусть Тогда

Таким образом, при будет:

Приближенно и при этом ошибка не превосходит

Если — малая, то порядок величины (4.26) есть порядок величины есть Заметим еще, что, как видно из (4.7) и (4.8), движение происходит по окружности радиуса С и мы определяем приближенно угол как функцию При малом 8 угол будет близок к величине что видно из (4.16). За начальное значение мы выбрали

Вернемся снова к уравнениям (4.6) и будем искать решение этой системы в виде

Подставим это в (4.6)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях находим

Мы найдем уравнения, из которых последовательно найдем все Из (4.30) имеем

где — произвольные функции от т. Из линейных неоднородных уравнений (4.31) найдем и так же найдем все

при этом каждый раз будут появляться произвольные функции от которые даже из начальных значений будут определяться только в одной точке, например, при И можно опять поступать так. Полагая вместо (4.28)

и подставляя это в (4.6), получаем дифференциальные уравнения для определения откуда получаем оценки для При этом определены из уравнений, которые получаем из (4.29), сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях . Положим, например,

Возьмем начальные значения

и положим

Из (4.32) имеем

другими словами, определяются только при в остальном же они произвольные. Пусть

Подставим (4.34) в (4.6):

Подчеркнутые члены сокращаются в силу (4.30). Сокращая еще на множитель находим

или

Можно это записать и так:

где значения и очевидны. Уравнения (4.39) можно заменить мажорантными. Но можно сначала получить в виде

где

и затем записать

Здесь часть членов проинтегрируем. После этого из (4.42) получим мажорантные уравнения (дифференцируя в виде

Здесь поэтому и мажорантным уравнением будет

Отсюда имеем

Пусть корни уравнения например, будут вещественные:

Тогда имеем

где при Таким образом, можно написать

Следовательно, согласно (4.34), приближенно имеем

при этом ошибка по модулю не больше

Напоминаем, что положительные постоянные А и В появились при оценке правых частей (4.42) и определены при условии

Знаменатель в (4.46) обращается в нуль при

Но это должно лежать вне промежутка (4.50). При увеличении I и Т надо уменьшить соответственно тогда оценка (4.47) будет хорошей.