§ 5. Задача Коши для неоднородного уравнения

Частная задача Коши для уравнения (4.1) формулируется так: найти решение и, подчиненное условию

Решениз этой задачи можно искать следующим образом. Пусть

— независимые решения уравнения (4.5). Составим уравнения

Предположим, что отсюда можно найти

Тогда равенство

на основании (4.7) доставляет решение уравнения (4.1). На основании (5.3) равенство (5.4) при переходит в равенство

и, следовательно, найденное решение и удовлетворяет условию (5.1). Когда же можно так найти решение задачи Коши (5.1)? Пусть

Тогда уравнения (4.8), соответствующие уравнению (4.5), можно записать в виде

В силу (5.5) эта система имеет в окрестности точек общее решение

Значит, из (5.7) при можно найти

интегралы уравнений (5.6), и из (5.8) можно найти (5.7). Отсюда видим, что если на множестве (5.1) условия теоремы Пикара для уравнений (5.6) выполнены, то искомое решение задачи Коши имеем в виде (5.4). Это решение мы, таким образом, нашли в I классе, т. е. в классе (4.7). А если указанные условия теоремы Пикара для уравнений (5.6) не выполнены? Тогда, как мы видели (пример (4.9)), решение поставленной задачи Коши может существовать вне класса I, а также и в классе I. Это решение также можно найти иногда из (5.2) и (5.4).

Рассмотрим вопрос о существовании решения поставленной задачи Коши исходя из уравнений (5.2). А именно, посмотрим, с какими случаями можно встретиться при рассмотрении уравнений (5.2). Иногда из (5.2) возможно получить (5.3). Мы отметили условие, при выполнении которого это будет наверняка. Но это возможно и без такого условия. И если имеем (5.3), то решение задачи получим в виде (5.4). Но здесь могут встретиться и такие случаи.

A. Некоторые из величин (5.2) будут тождественно постоянными при т. е.

B. Некоторые из функций (5.2) зависимы, пусть

- независимые, а остальные — функции от них (при произвольном u).

C. Некоторые из при неопределенны.

D. Все неопределенны.

Рассмотрим пример на случай С:

Независимыми решениями уравнения (4.5) будут

Искомое решение имеем в виде

Вообще пусть неопределенны при Тогда решения найдем из

где Ф — произвольная функция, если после умножения этого равенства на некоторую функцию оно выполняется при причем

Случай D — это тот, когда в точках не выполнены условия теоремы Пикара, это точки границы области . В окрестности таких начальных значений Коши расположение интегральной поверхности может быть очень сложным и разнообразным.

Теперь рассмотрим случай А. Здесь, во-первых, каждое из равенств определяет решение (согласно (4.7)), удовлетворяющее условию (5.1) (согласно Такое решение определяет и равенство (4.7), где Ф — произвольная функция, обладающая свойством

так как это равенство (4.7) определяет решение и на нем лежит множество (5.1) согласно (5.11) и условию (5.9). Можно это решение записать и так:

где Ф — произвольная функция, обладающая свойством

Это равенство включает в себя решения, определяемые равенствами

как частный случай.

Пример,

Будем искать решение, обладающее свойством

Уравнение (4.5) здесь имеет вид

и система (4.8)

Здесь условие теоремы Пикара на множестве (5.16) не выполнено. Решениями уравнения (5.17) будут

При имеем Это случай А. Согласно (5.12), искомое решение имеем в виде

где Ф — произвольная функция, обладающая свойством

В частности, из имеем решение из имеем решение Оба эти решения удовлетворяют поставленным условиям Коши (5.16). Если положим то из (5.20) найдем решение

также удовлетворяющее условию (5.16).

Случай В. Здесь каждое из равенств

определяет решение уравнения (4.1). Но будет ли оно содержать множество Согласно (5.10), равенство (5.22) выполняется при но при произвольном и. Вместо прежних независимых решений можем теперь взять другую систему решений уравнения (4.5):

где даны равенствами (5.22). Согласно (5.10) и (5.22), имеем

От случая А это отличается тем, что равенства (5.9) выполнялись при

а здесь равенства (5.24) выполняются при любом значении и, поэтому нет оснований утверждать, что решение

определенное равенством

удовлетворяет условию (5.1).

Пример.

Здесь — независимые решения уравнения

Будем искать решение задачи Коши:

Имеем

Как видим, здесь

т. е. имеем случай В.

Равенство определяет решение

которое будет решением задачи Коши (5.28), но только в том случае, когда

Заметим, что на множестве точек Коши (5.28) для системы обыкновенных уравнений

не выполняются условия теоремы Пикара (см. (5.5), здесь Если мы будем искать решение задачи Коши (5.28) на множестве, где нарушены условия теоремы Пикара, т. е. будем искать решение во II классе решений, то получим опять решение (5.31), на котором все коэффициенты уравнения (5.26) обращаются в нуль. Если будем искать решение уравнения (5.26), обладающее свойством

то найдем _

т. е. Поэтому из равенства

найдем решение

Таким образом, мы видим, что в случае В в условиях Коши (5.1) не может задаваться произвольно. Но в таком случае, как можно найти те значения при которых эта задача Коши имеет решение в случае В?

Итак, пусть имеется случай В и поставлена задача Коши (5.1). Найдем те значения при которых эта задача Коши имеет решение.

Будем искать решение задачи в классе I, т. е. в классе решений, содержащихся в формуле (4.7):

Полагая здесь получим

Будем предполагать, что (5.35) не тождество, другими словами, функция Ф не имеет формы

где

так как в этом случае на основании (5.10) равенство (5.35) будет тождественным. Итак, решение ищем в форме (4.7), которая переходит в (5.35) при Но (5.35) на основании (5.10) принимает вид

Таким образом, искомое значение

удовлетворяет уравнению (5.36), которое не является тождественным. Напоминаем, что среди функций (5.2) функции предположены независимыми, поэтому, вообще говоря, равенство (5.36) и не может быть тождественным. Таким образом, при заданных (независимых) и фиксированной функции решение задачи возможно только в том случае, когда функция в условиях Коши (5.1) определяется равенством (5.36). И если, наоборот, эта функция определяется равенством (5.36), то искомое решение задачи Коши получаем в виде

Действительно, функция

определяемая этим равенством согласно (4.7), есть решение, а в силу того что функция определяется равенством (5.36), в которое переходит (5.37), это решение обладает свойством (5.1). Но более общая формула, решающая эту задачу Коши, есть (4.7), где Ф обладает свойством

так, что (4.7) при переходит в (5.37).

Замечание 5.1. Может случиться, что равенство (4.7), для которого (5.35) будет тождеством, доставляет решение, для которого отлично от тех, которые определены равенством (5.36).

Можно указать и другие методы решения этой задачи, но они приведут к тем же решениям.

Пример,

Соответствующее однородное уравнение (4.5) имеет вид

Найдем решение задачи Коши

Независимыми решениями уравнения (5.41) будут Имеем независимо от выбора Можно считать, что здесь поэтому имеем случай В.

Функция должна, согласно (5.36), удовлетворять равенству

постоянное, а решение задачи найдем из где Например, решение получим из

Но, согласно замечанию 5.1, решение можно искать из если и Например, можно искать решение из равенства при Но отсюда, кроме имеем — постоянное, . Мы получили решение что отличается от но в сущности это тот случай, когда

т. е. случай С.

Отметим еще, что уравнению (5.41) удовлетворяет и но не тождественно, а в силу т. е. равенство доставляет решение II класса уравнения (5.40). Это решение задачи Коши отличное от найденного

Рассмотрим снова пример (5.26), в котором и прежнюю задачу Коши:

Здесь поэтому, согласно (5.36), должно определяться равенством искомое решение — из где

или

Полагая , из найдем при из найдем

Но, согласно замечаний 5.1, решение можно искать и из где

или из

где Но отсюда имеем - постоянное, откуда

Если

Это решение отлично от найденного (5.43).

Если поставим задачу Коши то получим Это также случай В, и решение задачи найдем так же.

Пример.

Соответствующее однородное есть

Будем искать решение задачи Коши:

Имеем

Как видим, здесь нет ни случая А, ни случая В. Из (5.47) найдем

согласно (5.4), и найдем решение. Имеем I: или II:

Из I найдем решение из II — Решение I удовлетворяет поставленным 2 условиям Коши, а решение II не удовлетворяет.

По поводу этого заметим следующее. Поставленная задача Коши является особенной, так как в окрестности точек нарушены условия теоремы Пикара для уравнений