§ 4. Однородные уравнения

Функция называется однородной степени если

Полагая здесь получим

Дифференциальное уравнение называется однородным, если оно имеет вид

где — функции, однородные одной степени т. Легко видеть, что на основании свойства (4.2) уравнение (4.3) можно записать в виде

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой

В самом деле, подставляя это в (4.4), получаем

или

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя в нем переменные и интегрируя, найдем

где выбрано произвольно, но так, чтобы интеграл существовал. Записывая в силу (4.5) наряду с (4.7)

получаем параметрическое представление интегральной кривой с параметром и. Заметим, что решение уравнения

(4.6) получается из (4.7) при но оно не всегда является решением уравнения (4.4). Например, при это решение не будет решением уравнения (4.4), так как оно не удовлетворяет уравнению

Если же, например, то есть решение уравнения

Вообще надо считать решением уравнения (4.4), если так как тогда есть решение уравнения

Для исходного уравнения (4.4) общее решение (4.7) становится неопределенным при так как в этом случае тогда, учитывая (4.5), имеем и что делает неопределенной правую часть (4.7). При имеем Кроме того, при получении (4.7) мы могли потерять решение, определяемое равенством

Это равенство запишем на основании (4.4) в виде

Пусть

суть вещественные корни уравнения (4.8). Тогда уравнение (4.4) имеет решения вида

Дифференциальное уравнение (4.4) не определено в точке поэтому к этой точке интегральные полупрямые примыкают с одной и с другой стороны. Впрочем, можно было бы функцию в точке доопределить, положив . Тогда интегральную прямую можно считать проходящей через точку Но в этом случае будет разрывной в точке если она не является постоянной, равной . Вообще уравнение (4.4) может быть задано лишь в какой-то части плоскости например в первой четверти Далее будем предполагать, что оно задано во всей плоскости, за исключением точки Функцию будем считать непрерывной (и, следовательно, неопределенной в точке ) при всех конечных значениях и и имеющей пределы

(конечные или бесконечные) при Тем самым мы считаем заданным уравнение (4.4) и в точках оси у (за исключением начала координат). Но не будем предполагать

Следует, однако, иметь в виду, что этим мы рассматриваем, например, положительную полуось оси у как двойную линию, — с одной стороны, она будет границей для области будет непрерывной вплоть до этой границы, а с другой стороны, эта полуось есть граница области и в этой области также будет непрерывной вплоть до указанной границы. Если же рассматривать плоскость в целом, то при на положительной полуоси будет двузначной. Может, однако, случиться, что это не нарушит непрерывности расположения интегральных кривых вблизи полуоси у. Например, последнее будет для уравнения

Здесь интегральные кривые будут Решения могут оказаться особыми. Именно эти прямые мы получим формально из (4.7) при если

Но и при

и в этих случаях не будем их называть особыми решениями. Если же

то решения особые, так как не могут быть получены из (4.7) при частном значении постоянного С, ибо в этом случае - функция от х в точках прямой Таким образом, некоторые из интегральных полупрямых могут быть особыми решениями, а другие такими не будут. Если уравнение не имеет вещественных корней то особых решений уравнение (4.3) не имеет. Заметим еще, что если непрерывная функция имеет корень (изолированный) при — монотонная функция при

А тогда при имеет предел — конечный или бесконечный. Тем самым случай, когда не имеет предела, будет только тогда, когда не будет функцией непрерывной, сохраняющей знак при где корень уравнения

Пусть — корень уравнения при Рассмотрим поведение интегральной кривой, проходящей через точку в секторе между соседними прямыми

Итак, пусть Эта интегральная кривая дается, согласно (4.7), в виде

так как при и получаем Если мы наряду с (4.10) запишем

то формулы (4.10) и (4.11) можно рассматривать как параметрическое представление интегральной кривой, где роль вспомогательного параметра играет величина и.

Пусть в формулах (4.10), (4.11). Тогда, согласно сделанному предположению, имеем

при Отсюда видим, что если при имеет конечный предел, т. е. полупрямая является особым

решением, то всякая интегральная кривая, проходящая через точку в секторе, ограниченном прямыми (4.9), входит в определенную точку полупрямой Тем самым через эту точку проходят две интегральные кривые: полупрямая и кривая (4.10) с общей касательной, так как угловой коэффициент касательной в точке определяется самим дифференциальным уравнением (4.4)

Интегральную кривую (4.10) можно записать и в виде

Если мы сюда присоединим равенство

то получим параметрическое представление этой интегральной кривой, проходящей через расположенную на полупрямой точку .

Заметим, что интегральная кривая (4.13), (4.14) не может, коснувшись прямой при в точке снова при вернуться 1 в сектор, ограниченный прямыми Действительно, из (4.13), (4.14) мы видим, что х и у — однозначные функции параметра поэтому с каждой прямой интегральная кривая (4.13), (4.14) пересекается только в одной точке, откуда и следует наше утверждение. При этом (пусть если при то интегральные кривые входят в точку при так, что , а если при то все интегральные кривые входят в точки прямой при Таким образом, если полупрямая есть особое решение, то интегральная кривая, проходящая через любую точку прилежащего сектора 2, обязательно входит в какую-нибудь точку интегральной полупрямой и, наоборот, через любую точку прямой проходит интегральная кривая, которая пересекает любую прямую проходящую в прилежащем секторе.

Заметим, однако, что непрерывная функция в уравнении (4.4) может быть задана и так, что при функция имеет конечный предел, а при эта функция имеет

бесконечный предел. Например, пусть в окрестности задана следующим образом:

Тогда

и

Мы видим, что здесь при и при Следовательно, имеем

Таким образом, здесь интегральная полупрямая для сектора не будет особым решением, так как получается из общего при для сектора будет особым решением.

Из области ни одна интегральная кривая не входит в точки интегральной прямой в то время как из области в каждую точку этой прямой входит интегральная кривая, именно в точку прямой входит интегральная кривая

при С, найденном из равенства

т. е.

что дает интегральную кривую

Отметим еще следующее. Решение (если оно решение) уравнения (4.4) получается из общего решения (4.7) формально при Но оно в отличие от решений получаемых из общего (4.7), может обладать тем свойством, что в каждую его точку может входить и другое решение, например из области

Пусть, например, в области исключая точку (0, 0), задано уравнение

Здесь

— решение уравнения (4.15), так как это решение урав нения

Согласно (4.10) и (4.11), имеем

или

где

Из имеем

Или из обоих уравнений видим, что при Следовательно, в каждую точку интегральной полупрямой входит некоторое решение из области хотя это решение и получается как бы из общего при Дело, однако, в том, что решение получается и при любом С, так как оно получается при ибо при этом и правая часть выражения (4.17) для х также равна нулю. Так будет и общем случае, когда

Но, как мы отметили выше (см. рассуждение после формулы при этом может вообще не быть решением исходного уравнения если хотя формальной получается из общего решения Дело в том, что

и при имеем для неопределенность.

Может быть так, что - постоянная при 0, а Может быть и так, что . В этом последнем случае решение будем считать особым. А если — постоянное), то неособым. Например, если то при

— неособое решение уравнения (4.4). Это же мы имеем для уравнения (4.15).

Отметим еще, что для уравнения не есть корень уравнения но если ранее при интеграл в (4.7) становился несобственным за счет того, что подынтегральная функция обращалась в бесконечность, то теперь он становится несобственным второго рода, так как промежуток интегрирования становится бесконечным и, как и ранее, для особых решений значение интеграла стало бесконечным. А кроме того, записывая (4.16) в виде

получаем Тогда есть корень уравнения не получается из общего решения, так как здесь

— конечное при 0.

Мы можем еще поставить вопрос о поведении интегральных кривых в секторе, ограниченном интегральными прямыми когда прямая не является особым решением, т. е. когда из сектора (4.18) интегральные кривые не входят в точки прямой Так как предположено, что интегральная прямая — неособое решение для сектора (4.18), то, согласно предыдущему,

стремится к бесконечности при Пусть при Тогда, как видно из при Заметим еще, что если при каком-нибудь то и при всяком другом из этого промежутка, так как разность есть конечное число в силу непрерывности функции в промежутке -два соседних вещественных корня уравнения

Здесь надо видеть 4 случая. При будет так, что:

I. Интегральные кривые (4.10) и (4.11) асимптотически приближаются к прямой

II. Интегральные кривые (4.10) и (4.11) асимптотически приближаются к прямым проходящим в секторе (4.18), причем величина зависит от

III. Интегральная кривая (4.10), (4.11) не выходит из полосы между двумя прямыми

IV. Интегральная кривая (4.10) и (4.11) при —0 асимптотически приближается к прямой где при (пусть для определенности

Чтобы решить вопрос, какой из этих случаев имеет место, надо рассмотреть величину

при когда Здесь есть разность ординат прямой и интегральной кривой (4.10), (4.11).

Если

то имеем I случай.

Если

то имеем II случай.

Если при и колеблется между то имеем III случай.

И, наконец, если

то имеем IV случай.

Следовательно, нужно рассмотреть предел отношения

где

По теореме о среднем можем написать

Следовательно, можно написать

Предположим, что существуют конечные

Переходя в последнем равенстве к пределу при получим

Отсюда видим, что если

И только при может Если при остается ограниченным, а то

Из (4.19) видим, что

и

Предположим теперь, что в окрестности точки функция имеет вид

где — постоянные и при Тогда имеем

Отсюда получаем

где, как легко видеть (раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя),

На основании (4.22) получим теперь

При здесь главным членом будет

Таким образом,

Отсюда видим, что при имеем

Теперь положим, что [в окрестности точки функция имеет вид

где В — постоянная и при Тогда имеем

где при Отсюда получаем

где второе слагаемое если и будет бесконечно большим (при то порядка меньшего, чем первое слагаемое, и

На основании (4.20) имеем

При здесь главным членом будет

если , и мы имеем

Пусть теперь (т. е. Тогда, согласно (4.20),

Предположим такое, что первое слагаемое имеет предел при Тогда

и, следовательно,

В этом случае, следовательно, все интегральные кривые при 0 приближаются асимптотически к прямой

Может, однако, случиться, что не имеет предела при —0. Пусть, например,

где а — малое постоянное число. Тогда на основании (4.20) имеем

Отсюда видим, что колеблется при в пределах между величинами

где — аргументы, при которых достигает максимума и минимума функция

Мы рассмотрели тот случай, когда интегральная прямая не является особым решением и когда (см. при

Заметим теперь, что если то, очевидно, при . А тогда и при В этом случае при интегральные кривые асимптотически приближаются к интегральной прямой примыкая к началу координат.

Рассмотрим пример

где с и b ?— постоянные. Здесь легко находится общее решение из формулы (4.7)

Очевидно,

откуда находим корень уравнения

Легко видеть, что в соответствии с

Здесь решения неособые. Действительно, записывая общее решение в виде получаем при оба эти решения, если 0. Если же то решение получим при решение при

Качественная картина поведения интегральных кривых этого уравнения характеризуется поведением интегральных кривых в четырех секторах, ограниченных интегральными прямыми

Равенство (4.23) здесь имеет вид

Легко видеть, что если то имеем I случай, и при — IV случай. Нетрудно выяснить поведение интетральных кривых при Действительно, записывая общее решение в виде

видим, что если то при интегральные кривые входят в начало координат вдоль прямой при — вдоль прямой

Отметим еще, что, записывая уравнение в виде и

получаем

Отсюда получаем корень уравнения интегральная прямая и соответствует этому корню. При все интегральные кривые асимптотически приближаются к прямой

когда именно здесь т. е. имеем IV случай. Это видно из предыдущих общих рассуждений или непосредственно из общего решения. Действительно, если то при больших при . Здесь если

Пусть

Тогда интегральная прямая проходит в первой и третьей четвертях. Если и мы имеем I случай. В секторе между прямыми в области в общем решении постоянная (получаем при поэтому

Интегральные кривые в этом секторе показаны на рис. 1. Если то и мы имеем IV случай. Интегральные кривые в этом секторе показаны на рис. 2. Здесь разность ординат интегральной прямой и интегральной кривои

Если

при т. е. это тот случаи, когда при и имеем другими словами, интегральные кривые входят в начало координат вдоль прямой

Рис. 1

Рис. 2

Мы изучили характер поведения интегральных кривых при Также можно выяснить характер поведения интегральных кривых при и Это позволяет изучить поведение интегральных кривых в секторе, ограниченном интегральными прямыми (вернее, полупрямыми)

Таким образом, найдя все вещественные корни уравнения

изучим, как показано выше, поведение интегральных кривых в каждом секторе, ограниченном полупрямыми после чего и получим полную картину поведения интегральных кривых однородного уравнения.

Если функция — и задана при всех конечных вещественных значениях и и не обращается в нуль, то мы имеем только сектор — всю плоскость. В этом случае нам остается изучить поведение интегральных кривых, представленных

формулами (4.10) и (4.11) параметрически при Вначале сделаем два замечания.

1. Из уравнения (4.4) непосредственно видно, что все интегральные кривые, пересекающие прямую в точках этой прямой имеют параллельные касательные с угловым коэффициентом

2. Если — интегральная кривая уравнения (4.4), то кривая, представленная параметрически (с параметром

есть также интегральная кривая.

Действительно, на основании (4.4)

Кривая (4.25) получается из прежней равномерной деформацией всех радиус-векторов точек кривой в раз. Отсюда следует, что если в секторе между полупрямыми, выходящими из начала координат, имеем интегральную кривую то все кривые, полученные из этой кривой равномерной деформацией радиус-векторов, также будут интегральными кривыми.

Заметим теперь следующее. Рассматривая уравнение, надо иметь в виду, что как уже было отмечено, можно в разных областях плоскости задавать разными способами. Однородное уравнение (4.4) имеет вид

Здесь, например, при можно брать одну функцию при -другую, и уравнение будет однородным в первой и третьей четвертях. Можно даже в первой четверти для каких-то брать одну функцию для других — другую. Это и будет некоторым заданием в уравнении (4.4). Предположим, однако, что для области берем (следовательно, считаем заданной в промежутке и для области берем эту же функцию В области снова аргумент меняется в промежутке Тогда если, в частности, возьмем величину деформации то получим интегральную кривую, расположенную в секторе, ограниченном продолжениями прежних полупрямых по другую сторону от начала координат. Эта интегральная кривая расположится симметрично относительно начала координат в сравнении с той интегральной кривой, которая получится при Можно показать, что и, наоборот, если имеем две интегральные кривые

уравнения (4.4), расположенные в одном секторе, то будет

Действительно, это непосредственно видно из общего параметрического представления интегральных кривых (4.7) и (4.70, где выбор интегральной кривой определяется лишь значением С, и поэтому Здесь С и С, соответствуют первой и второй интегральным кривым в (4.7) и (4.70. Таким образом, из формулы (4.25) получим любую из интегральных кривых, расположенных в том же секторе (и при по другую сторону от начала координат), где расположена интегральная кривая

Пусть теперь функция не имеет вещественных корней, тем самым она знакопостоянна при всех и. Согласно замечанию 2, здесь достаточно изучить поведение интегральных кривых справа от оси у, т. е. при после чего мы при получим симметричную картину относительно начала координат.

Надо рассмотреть два случая:

В случае I, как видно из (4.10), (4.11), имеем:

Если мы имеем случай и, кроме того, при и , где то, очевидно, все интегральные кривые замкнуты. Если же то получим спирали.

Рассмотрим пример более общий, чем (4.24),

Отсюда получаем

N — произвольная постоянная.

Рассмотрим три случая:

где — вещественные числа.

В случае I имеем два решения типа

в случае II имеем одно такое решение

а в случае III таких решений нет. В соответствии с (4.92) и (4.93) решения (4.29), (4.30) не являются особыми, так как они получаются или при или при ибо

Так как 0, то не является решением уравнения (4.26) (см. рассуждение после формулы случае I имеем

Отсюда видим, что если — то их при где

Пусть теперь, например, Из (4.31) имеем

Следовательно, при

и

Если же

при , т. е. при

Таким образом, имеем при , если или но при если

Означает ли это, что при интегральная кривая (4.31) асимптотически приближается к прямой Чтобы это выяснить, напишем в нашем случае равенство

где имеет конечный предел при .

Мы видим, что (согласно случаям I, И, III и IV и рассуждениям после формулы

В случае а) интегральная кривая (4.31) при приближается асимптотически к прямой

В случае эта интегральная кривая асимптотически приближается к прямой

где при .

В случае b) интегральные кривые асимптотически приближаются к прямой

Мы рассмотрели случай Пусть теперь Тогда при т. е. все интегральные кривые, ограниченные прямой , приближаются асимптотически

к этой прямой и к началу координат, что и определяет качественную картину расположения интегральных кривых уравнения (4.26) на всей плоскости.

Теперь рассмотрим случай II:

Получаем (из

Отсюда видим, что если то имеем

и

При будет Это означает, что интегральные кривые располагаются так, как показано на рис. 3.

Если то все будет наоборот:

Но .

Пусть теперь имеем случай III. Тогда

Отсюда видим, что при имеем и

Оба эти предела по абсолютному значению будут совпадать, если

В этом последнем случае из (4.33) имеем

т. е. замкнутые интегральные кривые вокруг начала координат.

Рис. 3

И если , то будем иметь спирали вокруг начала координат, так как

Если здесь то спирали закручиваются вокруг начала координат при увеличении аргумента радиус-вектора точки интегральной кривой, так как будет Если то будет

Частным случаем однородного уравнения (4.4) будет тот, в котором

где суть однородные полиномы степени . Здесь

Вещественные корни уравнения суть вещественные корни уравнения от степени

не являющиеся корнями уравнения тем самым не являющиеся и корнями уравнения так как иначе множители вида сразу были бы сокращены в выражении

Теперь

где

Подынтегральное выражение можно разложить на простейшие дроби. Мы видим, что при и будет поэтому здесь все интегральные прямые не будут особыми решениями. Выше показано, как в этом случае можно изучить поведение интегральных кривых между интегральными прямыми Это уравнение подробно изучено в работах П. Т. Черевичного [101].