§ 10. Строгое определение общего решения

Открытую область будем называть далее просто областью. Предположим, что точка лежит на конечном расстоянии и обладает свойством: в любом круге с центром в точке имеются как точки из так и точки, не принадлежащие Тогда точка называется граничной точкой области Множество точек области и ее граничных точек назовем замкнутой областью и обозначим Множество граничных точек можно условно записать так: Если точка принадлежит области то будем записывать это так:

Каждое дифференциальное уравнение (1.3)

задано в какой-то области [или в Это значит, что (а тем самым и определена в каждой точке области D (или

В § 3 мы условились решения проходящие через точку называть совпадающими в окрестности этой точки, если при где Будем говорить, что через точку проходит единственное решение если все другие решения проходящие через точку совпадают с решением в указанном выше смысле, т. е. если для каждого решения при найдется такое что при Для уравнения заданного в области имеем особое решение и общее решение Через любую точку особого решения проходит одна интегральная кривая из семейства общего решения, именно . И эти решения, очевидно, не совпадают в указанном выше смысле, так как при за исключением лишь Следовательно, в каждой точке особого решения нарушена единственность решения.

Пусть уравнение (1.3) задано в области D так, что через каждую точку проходит и притом единственное решение этого уравнения.

Два определения общего решения.

I. Определение. Функция

называется общим решением уравнения (1.3) в области если при любых равенство (10.1) определяет значение постоянной

и если подстановка этого значения С в равенство

приводит к уравнению (1.3), т. е.

Короче: (10.1) есть общее решение уравнения (1.3) в области если в этой области уравнение (1.3) есть следствие равенств (10.1) и (10.3) через (10.2).

II. Определение. Функция (10.1) называется общим решением уравнения (1.3) в области если при любых равенство (10.1) определяет значение С (10.2) и если при всех таких С функция (10.1) тождественно удовлетворяет уравнению (1.3). Следовательно, первое требование, предъявляемое к общему решению (10.1), состоит в том, что при любых х из D найдется такое С, что функция (10.1) принимает наперед заданное значение у из D так, что Это требование позволяет получить при соответствующем значении С решение, проходящее через любую точку т. е. если то при соответствующем выборе С получим решение такое, что при . И только в этом смысл первого свойства общего решения.

Докажем эквивалентность этих двух определений общего решения. Пусть ( - общее решение в смысле первого определения. Покажем, что обладает свойствами второго определения общего решения. Первое свойство совпадает. Покажем, что тождественно удовлетворяет уравнению (1.3). Из (10.1) следует (10.2) и (10.3). А из (10.2) и (10.3) следует по I определению общего решения (1.3). Значит, у, определенное равенством (10.1), удовлетворяет уравнению (1.3) при всех С, определенных равенством (10.2).

Пусть (10.1) есть общее решение в смысле второго определения. Покажем, что обладает свойствами первого

определения. Первое свойство совпадает. Покажем, что из (10.1) через (10.2) и (10.3) придем к (1.3). Дифференцируя (10.1), получаем (10.3). Заменим С из (10.2). Получим

Функция (10.1) тождественно удовлетворяет как уравнению (10.4), так и уравнению (1.3). Левые части равенств (10.4) и (1.3) совпадают, так как у одно и то же, определенное равенством (10.1). Но тогда совпадают и правые части

Но здесь — любая точка из так как (10.4) — тождество для любой точки . А тогда т. е. (1.3) есть следствие из (10.1) через (10.2) и (10.3), т. е. обладает свойствами первого определения.

Эти строгие определения общего решения связывают понятие общего решения с областью. Следует, однако, иметь в виду, что в определении общего решения область D может быть только частью той области, в которой задано уравнение (1.3).

Пример 1. Для уравнения заданного на всей плоскости имеем общее решение Если напишем то получим общее решение лишь в области так как для точки не найдем вещественной постоянной С, при которой

Пример и для У берется арифметическое значение. Следовательно, уравнение задано в области причем в точках надо рассматривать уравнение Общим решением в области (открытой) будет или Оно не содержит проходящего через точку (0, 0). Действительно, так как (арифметическое значение), то нельзя считать решением. Но есть решение проходящее и через точку (0, 0). Это решение не содержится в общем решении, и оно проходит на границе области в которой задано уравнение. Через каждую точку решения проходит и решение, содержащееся в общем решении, именно через эту точку проходит решение

Пример Уравнение считаем заданным в области Общим решением будет которое содержит и решение при По определению общее решение рассматриваем в открытой области, но иногда, как видим, оно содержит и решение, лежащее на границе области т. е. иногда общее решение получаем и в замкнутой области. Далее увидим, что это означает.

Для уравнений, интегрируемых в конечной форме, мы получали общие решения во всей области задания дифференциального уравнения. Это подробнее рассматривалось для уравнения с разделяющимися переменными. Мы показали, что в случае дифференциального уравнения в полных дифференциалах в области где непрерывны и и (8.15) представляют общее решение в неявном виде, из которого следует существование решения задачи Коши и в явном виде или Вместо (8.13) можно взять и (8.11). Читатель легко это проделает в других случаях, когда общее решение получается в конечной форме. Далее докажем существование общего решения в некоторой области для уравнений довольно общего вида, а также построим общее решение во многих важных случаях, когда уравнение не интегрируется в конечной форме.