§ 5. Осуществимость преобразований

Итак, мы видели, что иногда по некоторым общим соображениям можно угадать выбор функции которая определяет и функцию Но важно указать признак, позволяющий ответить в общем случае на вопрос,

если заданы и функция как-то выбрана, то, определяя Ф по формуле (1.14), получим ли мы ожидаемый или желательный вид для например, получим ли

или

если

Рассмотрим равенство

откуда найдем

Подставим это значение у в (5.1):

Здесь правая часть не должна зависеть от поэтому

Запишем это равенство в развернутом виде и умножим на

Чтобы найти продифференцируем частным образом по х равенство (5.3)

откуда

Подставим сюда значение и из (5.3)

Подставим это значение в тождество (5.7)

Доказана

Теорема 5.1. Тождество (5.8) является необходимым и достаточным условием для выполнения равенства (5.1).

Следовательно, если тождество (5.8) выполнено, то уравнение (1.1) приводится к уравнению (1.3) вида

т. е. приводится к однородному уравнению.

Рассмотрим частный случай тождества (5.8). Именно, рассмотрим случай (5.2), т. е. , и возьмем в виде

Здесь интегралы берутся частным образом по х. Легко убедиться, что в этом случае тождество (5.8) принимает вид

Доказана

Теорема 5.2. Если тождество (5.10) выполнено и если выбрано согласно формуле (5.9), то имеем (5.2), т. е. уравнение (1.15) приводится к уравнению (1.3) вида Общее решение этого уравнения

где дано равенством (5.9), будет общим решением уравнения (1.15). Но допустим, что тождество (5.8) выполнено, т. е. уравнение (1.1) приводится к уравнению Спрашивается, как найти определенную равенством (5.1). Эта

можно сделать, например, так. Полагаем откуда

Теперь, подставляя в (5.1) это значение х, и получаем

Можно поступить несколько иначе. В (5.1) и (5.3) полагаем

Отсюда

Можно предложить и другие способы. Но всякий раз, вообще говоря, не просто найти (5.12) или, например, (5.14). Можно, однако, получить всегда общее решение в этом случае, обходя алгебраические трудности. Покажем это. Итак, будем предполагать тождество (5.8) выполненным и данным. Покажем, как в этом случае можно найти интеграл уравнения (1.1). Уравнение (1.1) здесь приводится к уравнению Пусть в этом случае, согласно (5.1),

Эта функция нам известна. Из имеем

где

Это уравнение в полных дифференциалах относительно переменных у и V, в чем легко убедиться. Оно останется уравнением в полных дифференциалах, если мы его как-нибудь преобразуем не умножая. Имеем Подставляя это в (5.16) и заменяя там получаем

Это уравнение типа

где известны, и является уравнением в полных дифференциалах. Интеграл такого уравнения нам известен, здесь

Теперь рассмотрим тот случай, когда уравнение (1.3) принимает вид

Здесь, как и в предыдущем случае, согласно (1.7), имеем

откуда можно искать полагая, например,

и подставляя это в (5.20):

Если (5.20) имеем, то правая часть в (5.23) не зависит от х. Но в общем случае из (5.21) трудно найти (5.22) или поэтому полезно дать признак наличия (5.20), не находя (5.22). Можно, исходя из (5.23), потребовать

откуда и получим (как в предыдущем случае) признак наличия равенства (5.20). Но можно поступить иначе. Функции и у, очевидно, зависимые, поэтому, согласно известной теореме из неявных функций в анализе, якобиан должен быть равен нулю:

Подставляя сюда значение из равенства (5.20), получаем требуемое условие наличия равенства (5.20):

Таким образом, если выбрано и тождество (5.25) выполняется, то уравнение (1.1) равносильно уравнению (5.19),

где дано равенством (5.20). Но нелегко найти поэтому полезно указать способ нахождения интеграла (1.1) в этом случае, минуя нахождение (5.22). Это можно сделать так. Из (5.19) имеем

Это уравнение в полных дифференциалах. Пользуясь равенством запишем уравнение (5.26) в виде

Это уравнение также в полных дифференциалах, поэтому его интеграл легко находится в квадратурах. Здесь — известные функции. Доказана

Теорема 5.3. Если тождество (5.25) выполнено, то уравнение (5.27) равносильно уравнению (1.1) и является уравнением в полных дифференциалах.

Можно проверять тождество (5.25), полагая, например, в случае уравнения (1.15)

Тогда тождество (5.25) принимает вид

или, если взять

И если это тождество выполнено, то значение можно подставить в (5.27) и в (5.20). Можно так же поступать в каждом случае, когда возьмем такое уравнение (1.3)

которое интегрируется в замкнутом виде. Труднее, конечно, найти уравнение (1.3), равносильное уравнению (1.1), которое не интегрируется в замкнутой форме, но в каком-то смысле исследуется проще, хотя и тогда равносильное уравнение (1.3) во многих случаях найти можно — это мы видели. Замечание 5.1. Предположим, что для уравнения (1.15) тождество (5.28) не выполняется. Тогда уравнение (1.15) можно записать в виде

и положить

При этом тождество (5.28) для принимает вид

Здесь дифференцированием легко избавиться от интегралов, после чего уравнение (5.31) перейдет в дифференциальное. Легко видеть, что при доврльно общих условиях относительно решение этого уравнения существует. Нам нужно найти какое-нибудь частное решение. И если такое подставим в уравнение (5.30), то оно будет равносильно уравнению вида (5.19), а уравнение (5.27) для новых будет уравнением в полных дифференциалах. Такое же замечание можно сделать относительно приведения уравнения (1.1) к уравнению вида