§ 3. Построение систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую

Пусть для системы

кривая

есть интегральная. Это значит, что система (3.1) имеет решение

для которого будет

Отсюда следует, что

для функций (3.3), или, другими словами, при условии (3.2). Это означает, что

где

Следовательно, если мы желаем, чтобы система (3.1) имела интегральную кривую (3.2), то должны найти Q, удовлетворяющие равенству (3.6), где — произвольная со свойством

(3.7). А кроме того, можно, например, и Q задать произвольно в виде

где — произвольная со свойством (3.7), а — произвольная. Подставляя Q из (3.8) в (3.6), находим

Здесь первое слагаемое обладает свойством (3.7), поэтому можно написать

Тем самым доказана

Теорема 3.1. Для того чтобы система (3.1) имела интегральную кривую (3.2), необходимо и достаточно, чтобы она имела вид

где обладают свойством (3.7), а — произвольная 1 функция.

Надо, конечно, еще подчинить условию существования решения системы (3.1) в виде (3.2), где со дифференцируема. Например, достаточно потребовать существования непрерывных производных от Р и Q в окрестности точек кривой (3.2). Если мы потребуем дополнительные свойства для кривой (3.2), то соответственно надо требовать выполнения некоторых условий для Р и Например, если в точке кривой (3.2) имеем то точка будет точкой покоя системы (3.1). Можно строить систему (3.1), имеющую данное множество интегральных кривых или интегральную

кривую, заданную в параметрическом виде

Так же можно решать эти задачи для системы уравнений. Можно искать системы уравнений, имеющие заданные интегральные поверхности [34].