§ 7. Задачи Пуанкаре о периодических решениях

Поставим теперь задачу так. Дана система

содержащая параметр . Предположим, что при система

имеет периодическое решение

или вообще

т. е. с периодом

Поставим вопросы:

I. При каких условиях и система (7.1) имеет периодическое решение

при где решение (7.3) или (7.4)?

II. Когда здесь или т. е. когда период решения системы (7.1) не зависит от Я и равен периоду решения предельной системы?

Предположим теперь, что система (7.2) имеет семейство периодических решений, зависящих от векторного параметра с периодом

Тогда:

III. При каких условиях система (7.1) имеет периодическое решение с периодом

при т. е. при каких условиях система (7.1) имеет периодическое решение , стремящееся к одному из периодических решений (7.6) при ?

Или:

IV. При каких условиях система (7.1) имеет решение

с периодом обладающее свойством

Как мы видели, можно, конечно, рассматривать и такую систему (7.1), где не является периодической относительно Пр имеры. Дана система

которая при переходит в систему

имеющую периодическое решение

Система (7.9) имеет решение

Это решение при переходит в решение (7.11). При система (7.10) имеет решение (7.3) с т. е. с периодом, равным периоду правых частей уравнений (7.9), период же решений (7.12) зависит от Я. Для системы

имеем решение

Система (7.13) при переходит в систему

а решение (7.14) при переходит в решение системы (7.15). Это случай задачи II. Но система (7.15) имеет двухпараметрическое семейство решений

а система (7.13) — решение

с произвольной постоянной которое при переходит в решение (7.16), где т. е. в решение (7.16), соответствующее интегральной кривой Это пример задачи IV. Здесь как у решений (7.16), так и у решений (7.17) период равен Но для системы

имеем решение

которое при переходит в решение системы

Как решать эти задачи? Во всех случаях, когда мы ищем решение системы (7.1) с периодом со, не кратным со, должны пользоваться равенствами (4.32), т. е. в данном случае равенствами

Рассмотрим теперь те случаи, когда как (7.2), так и система (7.1) имеют решение с периодом соответственно (7.3) и (7.5), где, следовательно,

Итак, пусть система (7.2) имеет решение, обладающее свойством (7.3). Сделаем в (7.1) замену неизвестной

где — решение (7.3) системы (7.2). Получим

Теперь при имеем уравнение

имеющее решение

Будем искать решение уравнения (7.23)

периодическое с периодом и обладающее свойством

Пусть

есть решение уравнения (7.23) с начальным условием

Подчиним решение (7.29) условию периодичности

Отсюда найдем такое

при котором, согласно теореме 4.1, решение (7.29) будет периодическим с периодом Заметим, что равенство (7.31) выполняется при так как при этом решение (7.29) переходит в решение (7.26). Отсюда следует, что при известных условиях из теории неявных функций существует

Достаточным условием здесь будет

Другие условия существования решения уравнения (7.31), обладающего свойством (7.33), указаны в монографии [35] 1. Можно, однако, поступать и так. Пусть

— периодическое с периодом решение системы (7.2) с начальными условиями

Тогда, как мы видели (глава III, § 7), при достаточно малых можно построить решение уравнений (7.1)

определенное в промежутке Отсо. Подчиним это решение условию периодичности

Это равенство выполнено при

так как при этом решение (7.36) будет решением Отсюда следует, что при выполнении известных условий из (7.37) найдем

При таком , решение (7.36) будет искомым периодическим.

Рассмотрим частный случай системы (7.1), когда представимо в виде сходящегося ряда

и система

имеет периодическое решение

Построим решение системы (7.42)

и предположим, что оно определено в промежутке Пусть можно построить решение системы (7.40) в виде

Если здесь

то ряд (7.45) сходится при достаточно малых и при При этом Подчиним теперь решение (7.45) условию периодичности

или в силу (7.46)

Отсюда и найдем

в случае выполнения известных условий. При равенства (7.48) выполнены, так как при этом переходит в решение (7.43).

В системе Соответственно в системе (7.40)

и

Равенство (7.45) является краткой записью равенств:

и (7.48)

Обозначим

Тогда из уравнений (7.51) можно искать при если

Заметим еще, что так как вектор есть решение системы (7.42), то

и, следовательно,

Отсюда в соответствии с (7.52) получим

Здесь — решение системы (7.54) с начальными условиями

Рассмотрим тот случай, когда порождающая система линейная, т. е. система (7.1) имеет вид

где матрица и векторы имеют период со отно сительно Здесь порождающая система

имеет периодическое решение

Как подсчитать (7.53) на основании (7.56)? Пусть фундаментальная нормированная интегральная матрица линейной системы

Тогда общее решение уравнений (7.59) имеет вид

где , так как при При получаем периодическое решение (7.60). В соответствии с (7.52) и на основании (7.60), (7.61) из (7.62 имеем

Следовательно, величина (7.53) здесь равна определителю

Отсюда видим, что если

то система (7.58) имеет и притом единственное периодическое решение с периодом со при всех достаточно малых Начальные значения этих периодических решений в момент найдем из уравнений (7.51). Условие (7.64) гарантирует и существование периодического решения с периодом со (период уравнений (7.59).

Условие (7.64) означает, что система (7.61) не имеет периодических (с периодом ) решений (§ 4 главы VI). И также если

то система (7.58) имеет решение и притом единственное периодическое с периодом при малых Если то вопрос о существовании периодических с периодом со решений уравнений (7.58) приводится к существованию неявных функций при определяемых также уравнениями (7.51) (см. [35, 37]). К этому можно добавить следующее. Пусть дана линейная система уравнений

и здесь ряд сходится при Предположим, что эта система имеет периодическое решение с периодом

где ряды сходятся при малых Спрашивается, при каких эти ряды будут сходиться и будут оставаться периодическими? Ответ: ряды представляют собой периодическое решение при (см. [37]).

Пример.

Здесь система (7.42) имеет вид

и решение

При оно будет периодическим с периодом

В соответствии с (7.56) имеем

Найдем теперь (7.53):

Следовательно, система (7.65) имеет решение

обладающее свойством

и

где

Рассмотрим тот случай, когда система уравнений имеет

где матрица и векторы — периодические с периодом со, определены и непрерывны в области и в этой области имеем условие Липшица

где

Пусть система

имеет периодическое с периодом со решение

которое при не выходит из области . Тогда система (7.72) имеет периодическое с периодом и решение с начальными условиями , обладающее свойством при

Доказательство. Периодическое решение уравнений (7.73) имеем в виде (глава VI, § 4)

где постоянная матрица определена равенством

Решение уравнений (7.72), обладающее свойством находим в виде

определяя А из равенства

Согласно замечанию к теореме 9.4 главы III и предположению относительно , уравнение (7.72) при достаточно малых имеет решение , определенное в промежутке и с начальными условиями при Это решение мы и найдем в виде (7.76), так как из (7.76) имеем т. е. имеем при Из (7.77) найдем соответствующее А, так как при это равенство при выполнено согласно (7.75), а

Таким образом, из (7.77) имеем при решение будет периодическим с периодом а и при Это решение будет единственным с начальными значениями где определено равенством (7.75). Решение с таким начальным значением найдем из (7.72) по методу Пикара, пользуясь формулой

Отсюда при — решение уравнения (7.73), найдем а при из (7.77) получим Затем из (7.78) при найдем и получим последовательные приближения. Можно их находить из формул

и (7.77). Из (7.79) при найдем затем из (7.77) и и т. д. Эти последовательные приближения при достаточно малых не выйдут из области определения (§ 10 главы III), поэтому это периодическое решение получим в той же области, в какой определено решение уравнений (7.73).

Можно еще последовательными приближениями найти из (7.76) с неопределенным А и подставить в (7.77), откуда последовательными приближениями найдем если возьмем за величину, определенную равенством (7.75).

Предположим теперь, что в (7.72)

и этот ряд сходится равномерно в области периодическое решение уравнений (7.73) при не выходит из области И остается предположение .

Тогда периодическое решение уравнений (7.72) представим в виде

Периодическое решение уравнений (7.72) в таком виде мы будем рассматривать в XIV главе.