§ 9. Теоремы о существовании решений в максимальной области, зависящей от параметра

В этом параграфе мы будем получать область существования решений, отличную от тех, которые имели из теорем Коши и Пикара. Здесь же получим иную зависимость

решений (и их область существования) от параметров, входящих в правые части дифференциальных уравнений.

Дано уравнение

где определено, непрерывно и удовлетворяет условию Липшица по и в области

Кроме того, удовлетворяет условию

Будем рассматривать решение, удовлетворяющее условию

Теорема 9.1. Решение уравнения (9.1), удовлетворяющее условию (9.4), при достаточно малых определено в промежутке

Доказательство. В соответствии с (9.4) напишем вместо (9.1)

По теореме Пикара рассматриваемое "решение определено и непрерывно в промежутке

где На самом деле, это решение определено в промежутке но мы рассмотрим его пока в меньшем промежутке Это решение представимо в виде ряда Пикара

где

при этом имеем

где L — постоянная Липшица для области (9.2). Следовательно,

Отсюда видим, что

т. е. при достаточно малых будет Отсюда следует, что рассматриваемое решение можно продолжить для если достаточно малое.

Обозначим Для промежутка решение будем строить исходя из уравнения

По теореме Пикара решение (продолжение решения уравнения существует в промежутке

Если то возьмем Тогда решение определено в промежутке и утверждение доказано. Пусть, наоборот,

Тогда решение уравнения (9.13) определено в промежутке

В силу (9.12) при малых будет Следовательно, решение уравнения (9.13) будем иметь в промежутке (при достаточно малых Это решение имеем в виде

где

при ввиду (9.12). Отсюда следует, что мы имеем оценку для (9.14)

Рассмотрим решение (9.14) при

согласно (9.16).

Таким образом, при малых будем иметь гц, Это означает, что решение при достаточно малых можно продолжить для Вообще для достаточно малых получим решение в промежутке где — целое положительное число. Следовательно, через конечное число шагов достигнем Далее этого значения х идти нельзя, так как вне промежутка не определена. Теорема доказана. Заметим еще, что при

Следствие 9.1. Пусть теперь определена и непрерывна в промежутке условие Липшица выполнено во всяком промежутке (и, следовательно, постоянная Липшица L зависит от а). Тогда решение при малых определено в промежутке где а как угодно большое, и при Доказанная теорема справедлива и для системы

Теорема 9.2. Пусть вектор определен и непрерывен в области

и в этой области выполнено условие Липшица по Предполагаем еще, что

Тогда решение при достаточно малом будет определено в промежутке равномерно относительно х при

Эта теорема обобщает известную теорему Пуанкаре, в которой относительно Я функция голоморфная. Эту теорему можно сформулировать и так.

Теорема 9.3. Дана система

где вектор определении непрерывен в области

и удовлетворяет условию Липшица.

Предположим, что система

имеет решение

определенное в промежутке

и в этом промежутке

Тогда уравнение (9.21) при достаточно малых имеет решение

определенное также в промежутке

и равномерно относительно х при Доказательство. Рассмотрим решения у и у:

Обозначим

Здесь и

Функция определена и непрерывна в области согласно (9.26), Для системы (9.31) выполнены все условия предыдущей теоремы, поэтому решение определено в промежутке при достаточно малых равномерно относительно х при

Эта теорема позволяет усилить теорему, доказанную нами ранее, о непрерывной зависимости решения от начальных значений.

Дана система

где определена и непрерывна в области

Предположим, что в этой области выполнены и условия Липшица. Пусть решение

определено в промежутке

и

Рассмотрим решение

— малое. Докажем, что это решение также определено в промежутке при достаточно малом при равномерно относительно х в промежутке . Введем в рассмотрение фушцию

Рассмотрим новую неизвестную

и решение . При это решение определено в промежутке , так как в этом промежутке

определено решение и, следовательно, в этом промежутке определена при достаточно малом не вышло из области определения функции Согласно предыдущему, рассматриваемое решение определено в промежутке если достаточно мало. Доказана

Теорема 9.4. Если решение уравнения (9.33) определено в промежутке и не выходит из (9.37), то и все решения уравнения при достаточно малом определены в промежутке

Мы доказали ранее также, что решение обладает свойством при откуда и следует, что при Ранее мы рассматривали непрерывную зависимость от начальных значений лишь в промежутке -определенном теоремой Пикара.

Замечание к теореме 9.4. Объединяя теоремы 9.3 и 9.4, можно утверждать: при условиях теоремы 9.3 решение уравнений (9.21) с начальными условиями (вместо где при при достаточно малых существует в промежутке , т. е. в том же промежутке, что и решение (9.24).

Теорема Пуанкаре-Ляпунова. Дана система

где ряды сходятся абсолютно и равномерно в области

- непрерывные функции. В целом эту область обозначим . Например, это будет, если — голоморфные функции в области

Предположим, что система

имеет решение

определенное в промежутке

и при таких z

Тогда система (9.40) при достаточно малых имеет решение

определенное в промежутке (9.43), удовлетворяющее начальным условиям

и представимое в виде

где ряды справа сходятся в области;

при достаточно малом

Доказательство. Введем новые неизвестные

Подставляя эти значения в (9.40), получаем

и нас интересует, согласно (9.46), решение

Из предположений относительно рядов (9.40) следует, что ряды (9.50) также сходятся абсолютно и равномерно в области . А тогда эти ряды имеют мажоранту

или

так как

Очевидно, еще более сильной мажорантой является функция

Поэтому системе (9.50) соответствует мажорантная система

Здесь ряды справа по степеням имеют положительные постоянные коэффициенты, превосходящие по модулю коэффициенты

Будем искать решение уравнений (9.50) в виде

при условии

Для определения получим единственные дифференциальные уравнения

где — полином от с положительными Коэффициентами. Здесь и коэффициенты определены и непрерывны в области поэтому и интересующие нас решения, согласно теореме Пикара, определены

и непрерывны в области Решение системы (9.55) мы получаем по Пикару из уравнений

выбирая за первое приближение

Для мажорантной системы (9.52) все будут постоянными положительными и превосходящими по модулю соответствующие величины в уравнениях (9.55). Отсюда следует, что в рядах (9.53), соответствующих мажорантной системе, будут положительными и превосходящими соответствующие коэффициенты в (9.53). Следовательно, если мы докажем сходимость рядов (9.53), соответствующих мажорантной системе, то будут сходиться и сами ряды (9.53), соответствующие уравнениям (9.50).

Рассмотрим мажорантную систему (9.52). Так как мы ищем решение и правые части уравнений (9.52) совпадают, то и поэтому достаточно рассмотреть уравнение

Положим тогда уравнение (9.57) принимает вид

Очевидно, поэтому из (9.58) получим

отсюда

Очевидно, надо взять корень 2

Поэтому

Так как

то имеем

и этот ряд сходится при малых и Теорема доказана.

Примечание. В силу непрерывной зависимости решений от начальных значений решение уравнений (9.40) с начальными условиями мало отличающимися от также представимо в виде (9.47), где при (по теореме 9.4 решение удовлетворяет условиям (9.43) и Теорема справедлива и для системы уравнений.

Рассмотрим теперь снова уравнения (9.40) и построим решение , уравнений (9.41) с начальными условиями

Это решение при достаточно малых согласно теореме 9.4 также определено в области (9.43) и удовлетворяет условию (9.44), поэтому решение уравнений (9.40) с начальными условиями также представимо в виде (9.47):

где при т. e. . Эти ряды абсолютно и равномерно сходятся в области при достаточно малом Очевидно также, что из (9.61) имеем

Рассмотрим решение (9.60) уравнений (9.41), в которых можно считать правые части рядами от (отсутствуют все члены, кроме свободных, относительно Начальные значения этого решения (9.60) также представимы рядами относительно (полиномы первой степени). Это тот случай, который рассмотрен в замечании 3, поэтому решение (9.60) представимо в виде рядов

абсолютно и равномерно сходящихся в области

По поводу этих результатов можно сделать следующие замечания.

1. Решение (9.61) построено в области

2. Решение же (9.63) предельной системы (9.41), в которое переходит решение (9.61) при построено, вообще говоря, в меньшей области Но на основании теоремы 9.4 решение при достаточно малых существует также в области

Будет ли в этой области представимо в виде ряда Будем строить решение (9.63) несколько иначе. Полагаем в (9.41)

Получим

и найдем решение с начальными условиями Это решение доставляет решение с начальными условиями

Таким образом, правые части уравнений (9.65) определены в области и эти уравнения при имеют решение определенное в области

По теореме Пуанкаре—Ляпунова решение пред ставимо в виде

и этот ряд сходится абсолютно и равномерно в области Следовательно, имеем и (9.63) в области