§ 7. Примеры тихоновских систем

Дано уравнение

где — непрерывные, дифференцируемые, ограниченные функции и Положим

Это уравнение Бернулли, поэтому получим

или (полагаем под знаком интеграла

Если — конечное, то при малом решение (7.3) будет мало отличаться от решения уравнения

при всех таких т. При этом предполагается, что начальные значения например в точке совпадают. Эта задача не отличается от задачи (1.15). Но рассмотрим задачу (1.15). Для уравнения (7.1) вырожденным уравнением будет

откуда

Это и есть корни уравнения (6.4). Присоединенным уравнением (6.12) является уравнение (7.2), где — постоянный параметр. Корни (7.6) изолированы. Будет ли корень устойчив? Решение уравнения (7.2) (при постоянном найдем из (7.3):

При это решение не стремится к следовательно, условие устойчивости корня не выполнено. Легко убедиться, что решение (7.4) исходного уравнения (7.1) на самом деле не стремится к решению вырожденного уравнения (7.5) при ни при каких С при фиксированном Действительно, из (7.4), принимая и и интегрируя по частям, получаем

Это можно записать и так:

Здесь В соответствии задачей (1.15) надо выяснить, возможно ли, что , при ? Так как то при любом фиксированном

Далее имеем

Пусть (ограничено при В промежутке

будет при Но и при так как при .

Таким образом,

Другими словами, никакое решение уравнения (7.1) не стремится к решению вырожденного уравнения при Рассмотрим теперь второй изолированный корень (7.6):

Как видно из (7.8), все решения уравнения (7.1) стремятся к решению вырожденного уравнения при для что следует и из теоремы Тихонова. Покажем это. Надо показать равномерную асимптотическую устойчивость точек равновесия (7.9) присоединенного уравнения (7.2). Введем в (7.2) новую неизвестную и:

Легко видеть, что

и

поэтому

Если здесь решение будет равномерно (относительно асимптотически устойчиво, то будет равномерно асимптотически устойчив и корень (7.9). Из (7.11) имеем

Если и ограничены, то при где А — достаточно малое положительное число, будет поэтому решение будет равномерно асимптотически устойчиво. То же самое будет и в случае

По теореме Тихонова здесь имеем при В случае мы и непосредственно это показали. Так же легко это показать и в случае (7.13). Но если имеем

то для присоединенного уравнения (7.2) и решение равномерно асимптотически устойчиво, так как имеем

Следовательно, при условиях (7.14) решения уравнения (7.1), начинающиеся вблизи будут приближаться к при Отметим еще, что, как видно из (7.7), при близких к (начальное значение и малых сильно отличается от при далеких от и малых величина — малая, поэтому х будет мало отличаться от

Или при малых надо взять очень малым, чтобы мало отличались. Это соответствует формулировке теоремы Тихонова, где указано, что имеет место для т. е. начальное значение исключается. Чтобы приближение было равномерным для надо взять начальное значение или в нашем примере Тогда, как видим из (7.7),

Но из

малое при малых если ограничено (напоминаем, что здесь

Рассмотрим еще один пример системы Тихонова, именно систему вида

где — матрица порядка и Мы предположим еще, что вещественные части матрицы отрицательные: Вырожденная система имеет вид

Изолированным решением такой системы будет

Запишем присоединенную систему

Согласно теореме Ляпунова (глава VI), нулевое решение (7.15) этой системы асимптотически устойчиво. Следовательно, по теореме Тихонова решения системы (7.16)

для если — достаточно малое, или расположено в области влияния корня где Т — любое конечное,

так как решение (7.15) определено при всех Интересно заметить следующее. Пусть дана линейная система

и

Известно, что при условии (7.18) нулевое решение системы

может быть неустойчивым, т. е. некоторые решения системы (7.19) могут быть неограниченными. Так, например, для системы

матрицы коэффициентов будут постоянными: Но фундаментальная система решений имеет вид:

откуда видим, что решения не будут ограниченными. Вырожденной системой для (7.17) будет и, согласно условию (7.18), Согласно теореме Тихонова, любое решение уравнений (7.17) обладает свойством при Но это решение может быть неограниченным при

Таким образом, если для уравнений (1.11) выполнены условия теоремы Тихонова, то решения этой системы сближаются с решениями предельной системы (1.12) при Но остается еще вопрос о приближенном построении этих решений уравнений (1.11). Система (1.11) заменой приводится к системе

Мы показали, как можно строить решение такой системы в виде

Глубокие асимптотические методы построения таких решений читатель найдет в работах А. Б. Васильевой. Подробные обзоры по исследованиям систем вида (1.11) выполнены в работах А. Б. Васильевой («Матем. сб.», 1952, т. 31 (73), № 3; «УМН», 1963, т. 18, в. 3 (111); «Журнал вычисл. матем. и матем. физики», 1963, т. 3, № 4).

Асимптотика решений вида (7.20) подробно рассмотрена, как мы отметили выше, и в монографиях Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского (см. также Волосов В. М. «УМН», 1962, т. 17, в. 6 (108), 3-126; [61]).