§ 7. Построение решений (5.10)

Мы рассмотрели методы решения вопроса существования и построения решений, обладающих свойством (5.10), в том случае, когда Р и Q в системе уравнений (5.1) не содержат и частично рассматривали это в том случае, когда Р и Q содержат Теперь мы рассмотрим один специальный метод построения решений (5.10), когда Р и Q содержат и когда предыдущие методы непригодны. Но сначала докажем существование решений вида (5.10) для некоторого частного случая уравнения, важного во многих отношениях. Именно рассмотрим уравнения

Если возьмем, например, то, очевидно, будем иметь и из системы (7.1) получим

поэтому

т. е. решение при - конечное существует.

Теперь мы рассмотрим частный случай уравнения (7.1) - классическое уравнение Пенлеве

Здесь

т. е. условия теоремы 5.3 выполнены. Мы только показали, что решение

существует. Согласно теореме 5.3, все особые точки решений уравнений (7.2) будут только типа (7.3). Но какой вид имеют решения в окрестности этих особых точек

Пенлеве показал, что в окрестности особых точек этих уравнений х и у представимы в виде

где — постоянные. Мы это получим при помощи совершенно иного метода, применимого вообще к более широкому классу особых точек и уравнений.

Итак, будем искать решение системы (7.2), обладающее свойством (7.3). Из (7.2) имеем

Отсюда, интегрируя, находим

С — произвольная постоянная.

Будем обозначать ограниченные переменные величины через через такую величину, что если Покажем, что

поскольку при На основании поэтому

По Лопиталю имеем

как откуда и следует утверждение.

Теперь покажем, что

откуда и следует утверждение (7.7). Из (7.5) на основании (7.6) имеем

или

Так как при то при больших из (7.8) имеем

Это позволяет (7.8) переписать так:

Отсюда получим

так как

Теперь из (7.2) на основании (7.11) имеем

Интегрируя слева от до и справа от до х, в соответствии с (7.3) находим

или на основании (7.7)

Подставляя отсюда в (7.4), получаем

откуда, интегрируя, находим

На основании (7.7) это перепишется так:

где С — произвольная постоянная. Отсюда

Пользуясь этой формулой, мы из уравнений (7.2) находим

Интегрируя это равенство, получаем

Легко видеть, что равенства (7.11) и (7.12) дают асимптотическое представление решения системы (7.2), обладающее свойством (7.3). Равенства (7.15) и (7.16) доставляют более точное асимптотическое представление этого решения. Этот процесс разворачивания асимптотического представления можно продолжить как угодно далеко. Мы имеем здесь, конечно, и асимптотические ряды, хотя члены их не выписаны. Здесь дано правило получения как угодно далеких членов этих рядов. Отсюда видим также, что члены этих рядов определяются однозначно. Мы докажем и сходимость этих рядов.

Мы ищем решение уравнений (7.2), обладающее свойством (7.3), где — произвольное. Но в (7.14) появилось второе произвольное постоянное С. Следовательно, при заданном мы получаем однопараметрическое семейство решений, обладающих свойством (7.3). И, кроме того, по формулам (7.11), (7.12), (7.15), (7.16) и другим мы, очевидно, получаем

все решения, обладающие свойством (7.3) (при выбранном Все эти решения заключены, например, в формулах (7.13) и (7.16), где еще не определены точно (найден только их порядок малости при Подставляя сюда все более точные разложения , мы получим все более точные разложения у и по степеням величины при этом члены в (7.15) и (7.16) с произвольной постоянной С не меняются, остается неизменным, следовательно, и постоянная С в (7.5), (7.13), (7.14), (7.15), (7.16) и т.д. Как видим, из (7.13) (или

Разложения, полученные нами, являются во всяком случае асимптотическими. Переходим к доказательству их сходимости. Из (7.15) видим, что, полагая

получим при

или в силу (7.4) и (7.18)

Запишем еще первое уравнение (7.2) в виде

Полагая перепишем уравнения (7.20) и (7.21) в виде

Пусть

Тогда из (7.22) получим

и

Так как на основании — малая порядка при то положим Тогда уравнения (7.24) перейдут в уравнения

Полагая

из уравнений (7.26) находим

Преобразование (7.27) имело целью уничтожить справа первые степени и привести линейные члены относительно неизвестных к каноническому виду. Уравнения (7.28) можно переписать в виде

Здесь — сходящиеся в окрестности точки степенные ряды, начинающиеся с пятых степеней. Нас интересует решение уравнений (7.29), определенное начальными условиями при Мы такое решение будем искать для уравнений

где ряды справа сходятся в окрестности точки

Согласно теореме 3.6, система (7.30) (7.29) имеет решение вида

где Но как отмечено в замечании к теореме 3.6, может случиться, что здесь решение не содержит членов вида так как все при Мы покажем, что для системы (7.30) это имеет место. Другими словами, мы покажем, что система (7.30) имеет голоморфное решение

с постоянными Тогда, очевидно, и система (7.29) имеет такое решение. Подставляя (7.31) в (7.30) и сравнивая коэффициенты при всех степенях слева и справа, находим — произвольная постоянная.

Далее получаем

где многочлены от коэффициентов правых частей системы (7.30) и при с положительными коэффициентами. Сходимость формально удовлетворяющих рядов (7.31) уравнениям (7.30) обеспечена теоремой 3.6 и замечанием к ней. Но ввиду большого значения для нас решения в виде (7.31) уравнений (7.30) мы докажем независимо от теоремы 3.6 сходимость рядов (7.31). С этой целью рассмотрим систему уравнений

Здесь ряды справа являются мажорантными для правых частей уравнений (7.30), так как здесь коэффициенты положительные — модули коэффициентов рядов (7.30). Известно [16], что уравнения (7.33) определяют голоморфные функции в окрестности

Коэффициенты этих рядов находим, подставляя их в уравнения (7.33) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях V.

Таким образом, получаем

где - те же многочлены, что и (7.32), но аргументы а и Р заменены их модулями. Очевидно, Следовательно, из сходимости рядов (7.34) следует сходимость рядов (7.31).

Таким образом, мы доказали существование решения уравнений (7.30) в виде

где С — произвольная постоянная. Возвращаясь к переменным получим

Мы здесь заменили коэффициент С при через и продолженное разложение для взяли из равенства (7.16).

Ранее мы получали разложения типа (7.15), (7.16), которые доставляли во всяком случае асимптотическое представление решений, определенных свойством (7.3), и содержали все такие решения. Теперь, рассуждая иным образом, мы получаем некоторое семейство таких решений в виде сходящихся рядов по степеням величины и также зависящее от произвольного постоянного С (в обоих случаях коэффициенты при Таким образом, оба эти семейства совпадают, содержат все решения, определенные свойством (7.3), и представлены сходящимися рядами. Обращая (7.37), получаем

где — постоянные и ряды, стоящие в числителях, сходятся в области Эти ряды и были получены Пенлеве иным путем Но метод Пенлеве не позволяет получить, например, уже решение системы

которая также является частным случаем уравнений (7.1), поэтому имеем решение, обладающее свойством (7.3). Построим это решение. Из (7.39) имеем

Отсюда

или

Можно это записать и так:

Как и прежде, покажем, что (см. (7.6))

при есть малая порядка Это дозволяет из (7.41) получить

Отсюда

Пользуясь этим, на основании (7.7) получим из интегрированием

Теперь равенство (7.40) можно переписать так:

Отсюда

или на основании (7.7)

Запишем это так:

Извлекая корень, находим

Теперь, интегрируя снова равенство получаем

Таким образом, для имеем разложение (7.44) и (7.48), а для и (7.47). Этот процесс можно продолжить как угодно далеко. Вообще имеем

где - ряды по положительным степеням величины без свободных членов, пшчем наинизшая степень в ряду ) возрастает с увеличением Для у получим

где ряды имеют такой же вид, как . Эти ряды, во всяком случае, асимптотические. Но мы и в этом случае докажем сходимость этих рядов (7.49) и (7.50).

Как и в предыдущем случае, введем в рассмотрение переменные при (согласно как и ранее, из (7.39) получим уравнения

Полагая же находим

и нас интересует решение при . Как и ранее, полагаем еще Тогда получим уравнения

А после замены будем иметь

где — степенные ряды от и не имеющие членов степени ниже 5.

Легко установить, что эта система не имеет формального голоморфного решения (так как, подставляя эти ряды в (7.51) и сравнивая коэффициенты при справа и слева, получим неосуществимое равенство). Но, согласно теореме 3.6, здесь имеется решение

Здесь, очевидно, Эти ряды сходятся при достаточно малом и обладают свойством при Это те самые ряды, которые мы получили ранее, — (7.49)

и (7.50). Эти последние разложения (7.49) и (7.50) позволили нам найти новые переменные, для которых справедлива 1 теорема 3.6. И, кроме того, эти асимптотические разложения можно вообще строить для весьма широкого класса уравнений, когда, по-видимому, не обязательно можно прийти к системе уравнений типа Врио и Буке.

Рассмотрим еще пример:

Следовательно, или при или при Мы сейчас покажем, что имеет место именно второй случай. А, согласно теореме 5.3, других особых точек быть не может. Из (7.53) имеем:

и

Рассмотрим

Если числитель ограничен, то предел равен нулю, так как Если же он стремится к то, по Лопиталю, имеем

Если то предел равен нулю или, точнее, рассматриваемое отношение есть малая при Если же имеем то снова, по Лопиталю,

Также покажем, что при Следовательно, переписывая (7.55) в виде

имеем (или при , или при т. е. при больших Поэтому из (7.54) имеем

при — конечное. Отсюда следует, что

При будем иметь

Будем через обозначать величину при , когда Теперь из (7.53) получим

Из (7.55) найдем

или, подставляя (7.58) и (7.57),

Равенства (7.58) и (7.60) доставляют асимптотическое представление искомого решения, причем, очевидно, (7.60) доставляет более точное представление у, чем (7.56). Из (7.60) имеем

так как

Теперь из равенства помощи (7.61) мы получим более точное значение (чем (7.58)). Этот процесс можно продолжать неограниченно.

Введем теперь в рассмотрение новые переменные. Учитывая (7.56), обозначаем

Из (7.53) найдем

Обозначим

Тогда

Пусть Имеем

Пусть Тогда

Здесь правые части становятся неопределенными при начальных значениях

Мы запишем уравнения (7.64) в параметрическом виде

Для этой системы точка (7.65) является точкой покоя и система первого приближения (соответствующая линейная система) имеет вид

с характеристическими числами Согласно теореме Ляпунова (см. гл. III, § 12, замечание к (12.9)), система (7.66) имеет двухпараметрическое семейство решений, стремящихся к нулю при

— достаточно малью произвольные постоянные.

Ранее мы получили, что все решения системы (7.53), обладающие свойством при составляют семейство с двумя произвольными параметрами. Решения (7.67) также, в сущности, содержат два параметра и а, так как, полагая мы лишь меняем начало координат на оси несущественной переменной (которая не входит в правую часть уравнений Но здесь надо рассматривать достаточно большим, чтобы было достаточно малым. Отсюда следует, что решения (7.67) исчерпывают весь класс решений, обладающих свойством при или решение уравнений (7.66) будет лишь условно асимптотически устойчивым (по терминологии Ляпунова т. е. асимптотически устойчивым при некоторых стесненных условиях для малых начальных значений

Замечание. На этом примере мы видим, что вообще, если имеем систему трех уравнений , где — полиномы и соответствующая линейная система имеет нулевые характеристические числа, то можно решать вопрос об устойчивости решения , где эту задачу к вопросу наличия подвижной особой точки. При этом задача решается сравнением множества решений, примыкающих к точке у первоначальной системы, и множества решений, имеющих произвольно заданную особую точку независимой переменной.