§ 2. Случай, когда y(t) и z(t) — решения дифференциальных уравнений

Теперь будем рассматривать такую задачу. Пусть заданы уравнениями

т. е. заданы соответственно полным и укороченным уравнениями.

Пусть еще и О при Когда же имеем асимптотическое или сходящееся представление Как найти Можно предполагать в (2.1) постоянными, периодическими или вообще ограниченными. Пусть — постоянные. Если при этом в то, не уменьшая общности, полагаем

Итак, пусть

и

или

При малых очевидно, всегда будет при Из (2.3), (2.4) для таких решений имеем

Если при то по теореме Лопиталя имеем

Но, как видно,

так как

Итак,

независимо от четности и нечетности . Следовательно, имеем

или

Мы нашли в (1.1). Следует отметить, что, рассматривая (1.1), надо различать задачи:

1. Доказательство существования асимптотического разложения.

2. Нахождение коэффициентов

Можно построить способ нахождения коэффициентов который не позволяет, однако, доказать равенства (1.2), т. е. не позволяет доказать, что при найденных является асимптотическим представлением. Но этот способ позволяет найти если мы знаем, что асимптотическое разложение (1.1) есть. Но можно указать и такой способ нахождения который одновременно доказывает и наличие равенства Но сначала проведем рассуждение, позволяющее найти и сходящиеся, и асимптотические ряды (1.1).

Из (2.3), (2.4) имеем

Теперь ставим вопрос о построении решения

Существование такого решения, как мы видели, обеспечено, так как имеем при Положим После сокращения справа в (2.9) на получим

По теории уравнения Брио и Буке здесь имеем единственное решение при и это решение голоморфное. Но, очевидно, таким решением будет лишь Мы уже знаем, что

поэтому полагаем

Получаем (пользуясь (2.12))

Заменяя и по формуле (2.12) в (2.11), находим

Сокращаем на и переносим вправо:

Это уравнение Брио и Буке и

Пусть Тогда, после сокращения на множитель принимает вид

т. е. правая часть голоморфная. Следовательно, имеем голоморфное решение

с произвольной постоянной С.

Таким образом, решение уравнения при представимо через решения уравнения (2.4) О при в виде сходящегося ряда

где дается рядом (2.14). При этом для заданных начальных значений соответствующее значение С найдется.

Пусть теперь Сначала Тогда уравнение (2.13) будет иметь вид

Здесь Пусть

Тогда в согласии с обозначениями коэффициентов уравнения Брио и Буке

(уравнение (3.11), глава IX). Очевидно, в этом случае Запишем уравнение (2.16) в виде

Здесь не выписаны члены порядка 3. Согласно теории уравнения Брио и Буке, при

уравнение (2.19) имеет бесконечное множество голоморфных решений

А это дает представление (1.1)

со сходящимся рядом. Пусть теперь

Тогда нет голоморфных решений при но имеем бесконечное множество решений, голоморфных от причем коэффициент при z будет произвольным С, а при равен

Для у имеем сходящийся ряд

или

где

Таким образом, у можно по-разному представить сходящимися рядами

Сравнивая с (1.1) ряд (2.28), видим, что здесь нет представления (1.1) с ограниченными коэффициентами, так как здесь не ограничены. Представление (2.29) имеет вид (1.4) с (см. (2.27)).

Наконец, (2.30) также имеет вид (1.4) с постоянными

Замечание 2.1. Если в то уравнение (2.16) имеет бесконечное множество голоморфных решений

а для у имеем

Другими словами, при решение уравнения (2.4) довольно полно вбирает особенности решения исходного уравнения (2.3) и потому имеем сходящееся представление для у через 2. Вообще асимптотическое или сходящееся представление решения у уравнения (2.3) через решение z уравнения (2.4) характеризует влияние коэффициентов на структуру и поведение решения уравнения (2.3).