§ 4. Особые случаи системы (3.1)

Что можно сказать о существовании решений, обладающих свойством (3.3), когда в или в или в Рассмотрим примеры. Пример 1.

Это система (3.11) с

Искомое решение есть единственное и голоморфное. Впрочем, это частный случай предположения когда

существует решение единственное, голоморфное, обладающее свойством (3.3).

Пример 2.

Отсюда получим

Здесь при если рассматриваем область при достаточно малом а.

Очевидно, при и будет при имеем при будет и при будет

Пример 3.

Отсюда имеем однопараметрическое семейство решений обладающих свойством (3.3), причем в плоскости точка движется к началу координат в первой четверти вдоль биссектрисы.

Пример 4.

отсюда

Это уравнение Брио и Буке (глава IX, § 2), имеющее единственное голоморфное решение (других решений при

Пример 5.

Это система типа (3.11) с и

не обращается в нуль (например, если Поэтому и при

Можно рассмотреть и общий случай уравнений (3.11) с которые мы запишем в параметрической форме (3.11):

Обозначая запишем эту систему в виде

Здесь надо искать решения, обладающие свойствами

Но это частный случай системы, подробно рассмотренный А. М. Ляпуновым [III], к которой мы и отсылаем читателей.

Теперь мы рассмотрим систему (3.1) с параметрической точки зрения в записи или (3.10), (3.11) и (3.15). Сначала рассмотрим случай (3.10), когда в параметрическом виде эти уравнения имеют вид Предположим, что числа отрицательные и

Это частный случай системы (12.13) главы III, для которой мы построили решение (12.15):

которое, очевидно, можно записать так:

Здесь — постоянные и это совпадает с (3.23).

В случае, когда условие (4.7) нарушено (но или когда имеем случай (3.10) с или (3.11), или (3.15) с согласно разложению (12.9) в § 12 главы III вообще говоря, будут полиномами от тем самым полиномами от Именно это мы и получили здесь детально в разных случаях другим способом.

В. И. Зубов на основе этих ляпуновских разложений изучил более общие системы, чем системы (3.1) [41]. Можно рассматривать с позиций теории устойчивости и такие системы (3.10), когда или системы когда Действительно, в этом случае мы имеем системы

и надо искать решения, обладающие свойством при . Но это частный случай системы (94.1), рассмотренной в § 94 книги [59]; здесь рассмотрен вопрос о существовании таких решений.