ГЛАВА VII. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Введение

Теорема о существовании общего решения и интегралов. Пусть задана система

в области

где в области (2) непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по переменным например, ограничены в области (2). Тогда, по крайней мере, в области

существует общге решение уравнений (1)

т. е. при обл. (3) из (4) можно найти

Как мы видели, будут независимыми интегралами уравнений (1), т. е. будут независимыми решениями уравнения

Все остальные решения уравнения (6) (или дифференцируемые интегралы уравнений (1)), определенные в окрестности точки содержатся в формуле

где Ф — произвольная дифференцируемая функция.

Другими словами, формула (7) доставляет общее решение уравнения (6) в окрестности точки

Пусть теперь система (1) задана в симметричной форме

и в окрестности точки знаменатели непрерывно дифференцируемы и, например, Тогда, согласно предыдущему, в окрестности точки имеем независимых интегралов уравнений (8), которые будут решениями уравнения

а все остальные решения этого уравнения в окрестности точки получим в виде

В III главе мы указали и такие системы, для которых и общее решение (4) и интегралы (5) получены не только в окрестности какой-нибудь точки но и в большей или даже в бесконечной области.