§ 8. Дифференцируемость по параметру

Пусть дана система уравнений

где -векторы и вектор задан в области

где означает означает . Предположим, что в области непрерывен и имеет непрерывные производные Тогда в области (8.2) по выполнено условие Липшица для Следовательно, имеем решение

определенное и непрерывное относительно х в области

и относительно X в области (8.2).

Покажем, что существуют непрерывные производные

Не уменьшая общности рассуждения, будем считать, что у и - скаляры, т. е. имеем просто одно уравнение (8.1) с одним параметром А. Обозначая

и дифференцируя (8.1), формально образуем уравнение

Учитывая равенство будем считато в (8.6)

Найдем решение системы уравнений (8.1) и (8.6) с начальными условиями

Будем еще считать, что

так как к этому случаю можно свести следующим образом. Возьмем решения уравнений

с начальными условиями

и введем новые функции

Очевидно, Вычитая из первого равенства (8.10) другое, получим

и будем иметь Заодно получим и и Итак, будем искать решение системы уравнений (8.1) и (8.6), считая

в силу выбранного нами решения у или в силу указанного здесь введения новой неизвестной функции.

Функцию

имеем из (8.1) по теореме Пикара. Она определена и непрерывна в промежутке (8.4). Подставим найденное значение у в (8.6). Уравнение (8.6) линейное относительно z с непрерывными коэффициентами в области так как при таких X и х не выходит из области (8.2). Но тогда и решение уравнения (8.6) определено и непрерывно в той же области.

Докажем, что , так как ранее мы составили уравнение (8.6) лишь формально, не имея оснований утверждать, что существует. Подставим найденные функции в (8.6) и проинтегрируем это тождество по X в промежутке (0, X). Получим

Обозначим тогда так как Из (8.13) имеем к

Заметим теперь следующее. Из (8.1) найдем по методу Пикара последовательных приближений согласно формуле

В соответствии с (8.14) напишем аналогично

Будем искать решение системы (8.1) и (8.14) методом последовательных приближений по формулам (8.15) и (8.16) (напоминаем, что в (8.1) теперь полагая

Имеем

так Видим, что Но если , то и Действительно, это мы получим из (8.16).

Таким образом, при всех и Следовательно, имеем

Но определена и непрерывна в области поэтому существует и непрерывна в области

Замечание 8.1. Если (8.1) — система, как мы предполагали вначале, то вместо (8.6) будем иметь

и вместо (8.14), (8.15)

При этом рассуждения нигде не будут меняться.

Замечание 8.2. Если в (8.1) X — вектор, как и было предположено вначале, то, предполагая непрерывными производные порядка от по мы также докажем существование и непрерывность производных порядка от у по

Замечание 8.3. Пусть теперь при прежних предположениях еще и начальные значения у зависят от

Тогда после введения новых переменных где — решения уравнений

с начальными значениями

получим уравнения

где и нас интересует решение и, обладающее свойствами Продолжая это рассуждение, как и выше, мы докажем существование непрерывных производных порядка от по если предположено, что производные порядка от по и от по непрерывные. Но при этом решение

будет определено относительно х в области

и относительно в области