§ 3. Уравнение n-го порядка

Рассмотрим уравнение порядка с одной неизвестной функцией

частным случаем которого является уравнение

Уравнение (3.2) задано в области если в каждой точке этой области правая часть уравнения (3.2) задана.

Задача Коши здесь формулируется так: задана точка Найти решение уравнения (3.2), обладающее свойством

Будем говорить, что через точку

проходит только одно решение уравнения (3.2), если два решения, проходящие через эту точку, совпадают в промежутке где может быть и разным для разных решений, проходящих через точку т. е. имеем

или при если рассматривается только односторонний (здесь правый) промежуток. Будем считать далее, что область состоит из точек, через которые проходит единственное решение.

Два определения общего решения.

I. Решение уравнения (3.2)

называется общим в области если для любой точки области

равенства

разрешимы относительно

Другими словами, функция (3.4) есть общее решение уравнения (3.2), если для всякой точки из области D мы можем указать такие значения постоянных что выполнены равенства (3.6), и при таких значениях функция (3.4) удовлетворяет уравнению (3.2).

II. Функция (3.4) является общим решением уравнения (3.2), если имеем (3.7) и если

Эти два определения эквивалентны.

Решение будем называть особым, если оно состоит из точек через которые проходят и другие решения. Предполагается, что в точках этого решения остается непрерывной, иначе вопрос о том, особое это решение или нет, не возникает. Можно, конечно, рассматривать и такие особые решения, которые не получаются из общего при частных значениях постоянных т. е. такие же, как мы рассматривали для уравнений первого порядка.

Промежуточный интеграл порядка.

Пусть имеем соотношение

где произвольные постоянные. Дифференцируя раз полным образом, получим

Предположим, что из (3.8) и (3.9) можно найти

Если, подставляя эти в (3.10), получим уравнение (3.2), то соотношение (3.8) называется промежуточным интегралом порядка уравнения (3.2). При называется первым интегралом. Пусть

с произвольными постоянными является общим решением уравнения (3.8) в некоторой области т. е. из (3.12) и уравнений

можно найти постоянные

Покажем, что (3.12) является общим решением и для уравнения (3.2). Подставляя (3.12) в (3.8), получаем тождество, из которого вытекают тождественные равенства (3.9) и (3.10), откуда следует (согласно определению промежуточного интеграла (3.8)), что (3.12) удовлетворяет (3.2). Следовательно, всякое неособое решение уравнения (3.8) является решением

уравнения (3.2). Покажем, что (3.12) есть и общее решение уравнения (3.2). Действительно, из (3.12) и (3.13) находим постоянные согласно (3.14), а из и тем самым имеем из (3.6) равенство (3.7). Этим мы показали, что всякое неособое решение уравнения (3.8) есть решение уравнения (3.2) и, наоборот, всякое неособое решение уравнения (3.2) содержится среди неособых решений уравнения (3.8).

Замечание 3.1. Особое решение уравнения (3.8) может и не быть решением уравнения (3.2).

Пример. Дано уравнение

Уравнение

является промежуточным интегралом уравнения (3.15), так как, исключая С из (3.16) и

получаем уравнение (3.15). Функция есть особое решение уравнения (3.16), общим решением которого является

где С] — произвольная постоянная. Но не является решением уравнения (3.15), так как для функции правая часть уравнения (3.15) вообще не определена.

Пусть нам известны два первых независимых интеграла

Покажем, что в этом случае интегрирование уравнения (3.2) приводится к интегрированию уравнения порядка. Из уравнений (3.19) можно исключить (это и означает, что интегралы (3.19) различны). Получим

Это будет интегралом второго порядка, так как всякое решение у, удовлетворяющее уравнениям (3.19), есть решение уравнения (3.2). Общее решение уравнения (3.20)

будет общим решением уравнения (3.2). Действительно, из (3.19) имеем

можно найти

а в силу (3.22) получим

т. е. можно найти через что и является признаком общего решения функции (3.21). Если известны различных первых интегралов, то интегрирование уравнения (3.2) приводится к интегрированию уравнения порядка. Если известны различных первых интегралов, то интегрирование закончено, они составляют полный интеграл.