§ 4. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами

Прежде чем переходит к основной теме этого параграфа, докажем вспомогательное предложение. Если

где А и В — матрицы, то, по определению,

Теорема 4.1. Если А — матрица вещественная с характеристическими числами и среди нет равных нулю и отрицательных, то можно получить вещественным.

Пусть

и среди нет равных нулю и отрицательных. Предположим еще, что различные. В этом случае имеем

так как, согласно (4.3) и (6.7) главы V,

Функцию (4.2) при неравных можно записать и так:

Действительно, очевидно,

поэтому

что и требовалось доказать.

Теперь покажем, что , данный формулой (4.5), является вещественным. Легко видеть, что

где — скалярные симметрические функции, т. е. они от перемены мест любых двух из не меняют значений. Здесь

где Q — многочлены.

Заметим теперь следующее. Если — комплексные, а — их сопряженные комплексные, то

другими словами, произведение, частное и сумма двух комплексных чисел переходят в сопряженное комплексное значение, если заменим через Отсюда следует, что и отношение полиномов с вещественными коэффициентами переходит в сопряженное значение, если заменим через

Если — комплексное и — сопряженное, то . Отсюда следует, что

Матрица А — вещественная, поэтому комплексные среди возникают попарно сопряженные. Заменяя в через мы лишь взаимно переставляем некоторые из (именно комплексные). А так как — симметрическая функция, то означает, что вещественное, так как из следует, что z — вещественное.

Мы предположили еще, что — различные, но теорема 4.1 остается верной и в случае наличия среди кратных, так как это получим предельным переходом из (4.5).

Заметим, что если матрица А вещественная, то комплексные матрицы попарно сопряженные, а отрицательные попарно совпадающие. Поэтому можно считать вещественным.

Рассмотрим теперь систему линейных однородных дифференциальных уравнений с периодической матрицей коэффициентов

Здесь — матрица решений, или интегральная матрица. Мы видели, что если — фундаментальная матрица, т. е. с то любая другая интегральная матрица уравнений (4.7) дается формулой

где А — постоянная матрица

Если — нормированная, например, в точке т. е.

то

Будем рассматривать в (4.7) матрицу обладающую свойством (4.10). Положим в Тогда получим

Отсюда видим, что — интегральная матрица системы (4.7), поэтому на основании (4.8)

и

так как имеем (4.10).

Другими словами, интегральная матрица нормированная в точке при увеличении на период (о умножается слева на постоянную матрицу Если возьмем какую-нибудь другую интегральную матрицу то получим

т. e. эта матрица при увеличении на умножается слева на матрицу

Очевидно, характеристические числа и каноническая форма матриц V и совпадают. Из (4.13) также имеем

Это свойство интегральных матриц позволяет исследовать структуру фундаментальных интегральных матриц системы (4.7).

Предположим, что матрица (4.14) не имеет отрицательных . А нулевых она иметь не может, так как ибо — фундаментальная матрица. Тогда, согласно теореме 4.1, имеем вещественное

Рассмотрим матрицу

На основании (4.13) и (4.17)

Следовательно, — матрица, периодическая с периодом Из (4.18) получаем

Таким образом, поведение решений уравнений (4.7) при определяется постоянной матрицей В или матричной функцией

так как -периодическая и, следовательно, ограниченная. Матрица же В определена равенством (4.17) или формулой (4.5), или соответственно предельной формулой. Если среди матрицы V есть отрицательные, то их либо не будет у матрицы , либо будет четное число. А тогда на основании (4.16) получим

где

На основании (4.19) видим, что в первом случае (среди матрицы V нет отрицательных) существует матрица

такая, что замена неизвестного вектора х через вектор у в уравнениях (4.7) по формуле

переводит систему (4.7) в систему с постоянной вещественной матрицей коэффициентов В

Во втором случае (среди х. ч. матрицы V есть отрицательные)

в (4.23) матрица будет периодической с периодом В определяется равенством (4.22):

Мы видели, что, заменяя в (4.24), согласно теореме 7.1 главы V,

где — матрица, вещественная и ограниченная вместе с , получаем

Здесь — вещественная часть канонической формы матрицы В. Отсюда следует

Теорема 4.2. Существует матрица вещественная и ограниченная вместе с такая, что замена неизвестных х в (4.7) по формуле

переводит уравнения (4.7) в (4.26) с вещественной и канонической матрицей причем здесь

Этим показано, что вещественная фундаментальная интегральная матрица исходной системы имеет вид

Теперь можно задаться вопросом, когда система (4.7) имеет ограниченные или периодические решения. Чтобы решить этот вопрос, рассмотрим фундаментальную интегральную, матрицу

где — матрица, обладающая свойством (4.10), и соответствующая матрица (4.14) имеет каноническую форму

На основании (4.15) видим, что матрица обладает свойством

где — целое Здесь

Очевидно,

Отсюда и в силу главы V легко видеть, что при имеем

Если то, очевидно, все элементы матрицы при При они стремятся к нулю при Пусть Тогда диагональные элементы ограничены, а остальные стремятся к при

Чтобы исследовать поведение решений уравнений (4.7) при надо рассмотреть (4.32) при Элементы каждой строчки матрицы составляют решение уравнений (4.7). И каждая строчка матрицы или в (4.32) порождает новое решение уравнений (4.7) после увеличения на со. Это новое решение получается из одного первоначального решения, если в этой строчке матрицы стоит один элемент, и из решений (т. е. из строчек если в этой строчке матрицы стоят элементов. В новое решение переходит первоначальное решение. Отсюда видим следующее. Пусть первая строчка матрицы в которой стоит только один элемент X, стоит в N-строчке матрицы При замене на этот элемент перейдет в -решение матрицы умножается на №. Это означает, что N-решение будет при ограниченным, если Если то это решение будет периодическим. Если же то N-решение будет периодическим с периодом Если то так как при то матрице соответствуют линейно независимых решений матрицы стремящихся к нулю при Отсюда видим, что на поставленный вопрос отвечает

Теорема 4.3. Пусть Тогда каждая клетка Жордана в (4.31) порождает ограниченное решение, линейно

но независимое от других решений матрицы Если то это решение будет -периодическим (I - целое). Если то клетка порождает в линейно независимых решений, стремящихся к нулю при Если же все по модулю меньше единицы, то все решения уравнений (4.7) стремятся к нулю при (потому, что все линейно независимых решений матрицы обладают таким свойством). Если и все элементарные делители простые, то все решения уравнений (4.7) ограниченные. Этим исчерпываются все ограниченные и периодические решения уравнений (4.7).

К вопросу существования ограниченных и периодических решений уравнений (4.7) можно подходить иначе, исходя из формулы (4.19), т. е. на основе матрицы В. Именно каждое нулевое и каждая клетка Жордана матрицы В порождают периодическое с периодом со решение системы (4.7). Каждая клетка порождает ограниченное решение, и каждая клетка порождает -параметрическое семейство решений уравнений (4.7), стремящихся к нулю при Все это можно увидеть следующим образом. Пусть каноническая форма В есть

Тогда

и, следовательно, из (4.19) имеем фундаментальную интегральную матрицу

где

Здесь матрица — квазидиагональная, элементами-матрицами которой будут матрицы вида (6.8) главы V, где нужно заменить Матрица Отсюда и следуют все утверждения, так как каждая строчка матрицы порождает строчку-решение в матрице Отсюда видно и то, что если то строчка в с единственным элементом отличным от нуля, порождает -периодиче-ское решение, так как элементы соответствующей строчки в имеют вид

где элементы матрицы Действительно,

так как Очевидно, этот случай соответствует тому, когда матрица V имеет так как

Вопрос об ограниченных решениях легко решается и на основе формулы (4.29), где - ограниченная матрица, а - вещественная часть канонической формы матрицы В. Так как

то матрицы V связаны с матрицы В равенством

Обозначим

т. е. b — вещественная часть . Числа b называются по Ляпунову системы (4.7); они, очевидно, характеризуют, определяют поведение решений системы (4.7) при

Мы нашли признаки существования периодических решений уравнений (4.7) с периодом Пусть — фундаментальная интегральная матрица уравнений (4.7), например, обладающая свойством Эту систему решений можно получить, например, по методу Пикара. При помощи этих решений построим общее решение

и подчиним его условию периодичности

Отсюда найдем при которых получим периодическое с периодом та решение. Определитель этой системы равен нулю, так как искомое периодическое решение содержится в общем решении (4.42).

Можно ставить вопрос о существовании периодических решений уравнений (4.7) с периодом Т, несоизмеримым с периодом матрицы P(t). Можно задаться вопросом о существовании

периодических решений в том случае, когда матрица P(t) - непериодическая. Такие решения невозможны при и возможны при

Отметим, что если в системе (2.1) главы VI коэффициенты — периодические функции, то теорема Ляпунова 2.1 остается справедливой и доказывается так же, как в § 2 главы VI, но вместо теперь следует предположить или где матрицы (4.39). Это следует из теоремы 4.1 главы VI.

Рассмотрим неоднородную систему уравнений

где — векторы порядка и Р — матрица порядка, Пусть — фундаментальная интегральная матрица системы

Найдем решение неоднородной системы (4.44) в виде

где — вектор. Имеем

откуда в силу (4.45)

Следовательно, Общее решение уравнений (4.44) получаем в виде

где — произвольный постоянный вектор. Найдем решение, обладающее свойством

Этому равенству в силу (4.47) соответствует равенство

откуда

Отсюда видим, что решение (4.48) существует, если — определитель).

Если то для существования решения, обладающего свойством (4.48), необходимо и достаточно выполнение известных условий разрешимости алгебраических неоднородных линейных уравнений при условии равенства нулю определителя матрицы коэффициентов однородной системы. И если в этом случае существует решение, обладающее свойством (4.48), то оно не будет единственным, оно будет параметрическим, где — число уравнений (4.44) и — ранг матрицы

Пусть, например, Тогда

Обозначим

Условие существования имеет вид

Множество значений определяется равенством Можно взять тогда Это решение будет периодическим с периодом если (см. главу XI, § 4).

Если т. е. система (4.45) однородная, то она имеет периодическое решение с периодом со, если т. е. если , так как в этом случае постоянный вектор А существует при котором решение системы

(4.45) обладает свойством Но означает, что среди х. ч. матрицы есть

Найдем в развернутой форме значение вектора А (4.49) в случае Имеем:

При таких значениях решение (4.47) будет периодическим с периодом .

Рассмотрим случай, когда (4.44) имеет вид

где — малый параметр. В этом случае

и

Пусть существует, т. e. . Тогда

Теперь (4.49) имеет вид

Отсюда видим, что если , то некоторые элементы матрицы А при будут бесконечно большие порядка .

Если же существует, то и тогда некоторые элементы А при будут бесконечно большими порядка Если существует, то при все элементы матрицы А имеют конечный предел. Когда существует частное периодическое решение вида (4.47) при и любом значении

т. е. когда имеем при

или (после умножения справа на которое, очевидно, существует)

Это можно записать так:

Так как это должно быть при всех то т. е.

Если же то равенство (4.482) возможно при о значениях т. е. периодические решения уравнений возможны при некоторых значениях которые будут совместными корнями уравнений, получаемых из (4.482). Если система -система двух уравнений, то эти будут совместными корнями двух уравнений.

Так же легко можно решить вопрос о наличии периодического решения уравнений

где абсолютно сходится в области Здесь имеем

и вопрос о наличии периодического решения уравнений (4.442) решается рассмотрением равенства Если система (4.442) имеет периодическое решение с периодом пил, то вместо имеем

при этом должно быть . Если же то периодическое решение с периодом есть, если И, следовательно, матрица должна иметь Это исключительный случай, так как, вообще говоря, матрицы суть функции от е. Согласно (4.14) и где поэтому периодическое решение с периодом существует, если есть матрицы удовлетворяющее равенству частности, может быть, что матрицы постоянные Тогда

и для существования периодического решения должно быть

Отсюда видно, когда существует периодическое решение и в случае и в случае Если , то система (4.442) однородная и -фундаментальная система решений. Как мы видели в § 5, каждая клетка в канонической форме матрицы соответствующая порождает периодические решения с периодом типа где Я—корень уравнения Не всегда можно представить в виде ряда по целым положительным степеням е. Но всегда можно представить периодические решения уравнений (4.442) в виде рядов где - непериодическая функция от Среди могут быть и постоянные или Если то соответствующее решение будет стационарным, т. е.

Пусть предельная система для (4.442) при

имеет периодическое решение ) с периодом на основании равенства (4.49), где . В этом случае при достаточно малых существует и сходится ряд

В самом деле, так как , то и при достаточно малых А тогда система (4.442) при

достаточно малых имеет периодическое решение с периодом которое при стремится к периодическому решению Предположим теперь, что предельная система

имеет периодическое решение при условии В этом случае, как мы видели, существует семейство периодических решений. Пусть (4.442) есть система двух уравнений. Здесь и вектор представйм в виде ряда по положительным степеням е. Представим в виде таких рядов и . Равенства

согласно предположению (о существовании периодических решений предельной системы), выполнены при при могут не выполняться. Поэтому в этом случае система (4.442) имеет периодическое с периодом со решение (однопараметрическое семейство решений) при только при условии выполнения равенств