§ 1. Уравнение y' = P(x,y)/Q(x,y)

Теперь рассмотрим уравнение

где — голоморфные функции в окрестности точки т. е. представимы рядами

и эти ряды сходятся в области Здесь и

вещественные постоянные. Нас будет интересовать существование и построение решений

Это решение можно изучать и в параметрическом виде, записывая уравнение (1.1) в виде

или

или в векторном виде

Здесь, таким образом,

т. е. решения (1.1) получим в параметрическом виде.

Решением при (конечное) будет только так как это решение и по теореме Пикара другого непрерывного решения с такими начальными условиями быть не может. Нас же интересует решение, обладающее свойством (1.3). Для уравнений (1.5) таким решением, возможно, будет решение

Но такое решение не обеспечено теоремами Пикара или Коши, поэтому исследование должно быть основано на другой основе. Будем уравнение (1.1) рассматривать и в параметрическом виде (1.5) и непосредственно в виде (1.1). Но прежде чем изучать уравнение (1.1) или (1.5), приведем их к простейшему виду, вводя новые переменные по формуле

где — векторы, постоянная матрица.

Пусть матрица

где — вещественные. После замены (1.7) получим

где Q и Р — сходящиеся степенные ряды без свободных и линейных членов. Это означает, что в случае (1.8) вместо уравнений

(1.5), не уменьшая общности вопроса, можно рассматривать уравнения вида

так как, имея мы на основании (1.7) получим и Если же получим то для уравнения (1.1) будем иметь

т. e. решение уравнения (1.1) (в неявном виде) в переменных . Система (1.10) соответствуеу уравнению вида (1.1)

Пусть Тогда, если здесь разделим числитель и знаменатель на то получим уравнение вида

Здесь мы и снова обозначим через Таким образом, можно рассматривать и уравнение (1.12) вместо (1.1) или наряду с (1.12) систему (1.10). Здесь А, может оказаться равной нулю. Если же то можно поменять роли х и у. Рассматривая (1.12), полагаем Получим

Сократим числитель и знаменатель на х и перенесем и слева направо:

Здесь ряды будут сходиться в области и в знаменателе при таких и (если достаточно малое) будет

А тогда имеем сходящийся ряд

Здесь не выписаны члены порядка На основании (1.14) уравнение (1.13) можно записать в виде

Это можно записать и так:

или

Отсюда видим, что если при то, согласно теореме единственности, Значит, уравнение (1.15) не имеет решения при уравнение (1.12) не имеет решения при так что Но можно сказать более этого. Именно, уравнение (1.15) не может иметь решение не имеющее предела при и приближающееся бесконечное число раз при

В самом деле, пусть при возвращается в окрестность «о бесконечное число раз, т. е. имеется последовательность такая, что Если возвращается в как угодно малую окрестность то такое «о вблизи есть. Рассмотрим уравнение (1.15). Переменная х приближается к нулю только с одной стороны, так как если при каком-нибудь значении то и нет решения при При всех достаточно малых и некотором также при и, близких к

т. e. знак сохраняется один — это знак величины

Отсюда следует, что при не может возвращаться к так как при малых вблизи решение либо только возрастает, либо убывает. Отсюда и следует, что не может быть при Это означает, что при будет либо либо Если то возникает задача о построении решения уравнения при Если же то из видим, что, меняя роли х и у в уравнении (1.12):

и заменяя здесь получим

и надо строить решение, обладающее свойством при Таким образом, во всех случаях построение решения уравнения (1.12) приводится к построению решения при уравнения типа

или к построению решения при системы

Эти уравнения мы и будем рассматривать и не будем переходить к исходному уравнению (1.1), предоставляя это читателю. Это предварительное рассуждение мы провели относительно уравнения (1.1) в предположении (1.8).

Теперь предположим, что вместо (1.8) имеем

Тогда, делая замену (1.7), из (1.5) получаем

или

Здесь ряды не содержат свободных и линейных членов. Это соответствует уравнению

или

Полагаем здесь

Получим

или

Здесь не выписаны члены третьего порядка. Отсюда видим, что нет решения, обладающего свойством

Но, может быть, есть 0 при Из (1.27) имеем приближенно при малых

Отсюда видим, что при или вблизи величина сохраняет знак, поэтому при любом величина проходит значение только один раз, и, следовательно, нет решения уравнения которое при не имеет предела. Следовательно, при имеем либо либо Чтобы решить вопрос о существовании решения при надо уравнение (1.27) переписать иначе. Именно, при малых z имеем

Отсюда следует, что уравнение (1.27) можно записать так:

Это уравнение типа (1.19). Но, может быть, еще в (1.26) будет

Чтобы охватить случай (1.32), положим в (1.24)

Получим

При малых это можно записать так

Здесь нужно искать решение при и это уравнение является уравнением типа (1.19).

Если в уравнениях (1.23) будет

то

В этом случае уравнение (1.27) имеет вид

Но тип уравнения (1.38) отличен от (1.1). Мы не будем рассматривать систему (1.37). Отметим только, что здесь возможны различные случаи качественного расположения интегральных кривых и различные представления решений в окрестности точки (0, 0). Это показано в работах А. Ф. Андреева [6] и X. Н. Хаимова [98]. Вопрос же об устойчивости нулевого решения уравнений (1.37) подробно и исчерпывающе рассмотрен у А. М. Ляпунова [57]. Тем самым у него рассмотрен вопрос о наличии решений при уравнения

Теперь мы рассмотрим тот случай уравнения (1.1), когда матрица имеет комплексные Здесь вместо (1.8) можно написать

где — вещественная матрица, которую легко найти. Это означает, что после замены переменных (1.7) получим вместо (1.9) уравнения

или уравнение

Заменим здесь

получим

Заменим в (1.42) полярными координатами

Тогда уравнение (1.42) примет вид

или при малых это можно переписать так:

где — ряд по положительным степеням без свободного и линейного члена, коэффициентами которого будут тригонометрические полиномы от Согласно теореме Ляпунова, нулевое решение здесь будет асимптотически устойчивым, и, следовательно, все решения этого уравнения при достаточно малом начальном условии будут обладать свойством при если при , если Эти решения можно, как мы показали, представить рядами Пикара. Но можно, как это следует из Ляпунова, получить решения и в виде сходящегося ряда

Здесь — полином от своих аргументов

Мы не будем находить эти решения, но из при в соответствии с (1.45) видим, что интегральная кривая уравнения (1.42) закручивается вокруг начала координат как спираль или при или при Если здесь то система (1.41) имеет вид

а уравнение (1.42)

Согласно теореме Ляпунова, решение уравнений (1.46) будет асимптотически устойчиво и, следовательно, при если и при если Полагая в (1-47)

получаем

Здесь — ряды без свободных и линейных членов, поэтому числитель и знаменатель имеют общий множитель Пусть

Тогда получим

Отсюда имеем решение

Это означает, что вдоль всякой прямой, входящей в начало координат, входит интегральная кривая уравнения представляемая сходящимся рядом

Пусть теперь Тогда (1.41) принимает вид

а уравнение (1.42)

Можно показать, что уравнение (1.52) не имеет решения

Действительно, система (1.51), как и система (1.5), не имеет решения при — конечное, а может иметь только решение при или при (как и в (1.6)).

Введемте рассмотрение полярные координаты согласно (1.45]). Тогда

откуда найдем

Если при то при Но так как ряды Р(и, не содержат свободных и линейных членов, то

при это значит, что и кривая пересекает оси Если даже просто остается достаточно малым при то так как при малом Отсюда следует, что если при остается достаточно малым, то при имеем так как если или ограничено но нет то не может И непосредственно из (1.52) видим, что при всех достаточно малых существует решение при Действительно, в точке очевидно, имеем откуда и следует утверждение, так как в окрестности точки правая часть (1.52) голоморфная. Это решение, таким образом, голоморфное в окрестности точки

Из существования таких решений и из теоремы единственности решений в окрестности точек следует, что нет решения при если начальные значения по модулю достаточно малы. Действительно, если бы такое

решение было, то это решение пересекало бы решение (1.54), что в силу единственности невозможно. Такое же утверждение справедливо относительно всех прямых, проходящих через начало координат интегральные кривые с достаточно малыми начальными значениями малое, не могут уходить от начала координат вдоль прямой при Чтобы доказать это, надо поворотом осей перевести ось в положение прямой и повторить рассуждения, проведенные относительно оси Таким образом, при решение не может приближаться к началу координат и оставаться по модулю меньше некоторой величины Следовательно, при и это решение представимо в виде (1.54) или в виде

если речь идет о решении, которое пересекает прямую Отсюда следует, что все интегральные кривые в окрестности начала координат или замкнутые, или спирали. Действительно, если эта кривая незамкнутая, то пусть, например, она пересекает ось последовательно в точках при когда мы ее рассматриваем параметрически как решение уравнений (1.51). При достаточно малых как видно из (1.51), величина будет иметь один знак, откуда следует, что ось пересекается движением в одном направлении. Что может происходить с интегральной кривой после пересечения точки Она не может выйти из области, ограниченной одним

Рис. 12

витком интегральной кривой через отрезок с другой стороны, при полярный угол Отсюда и следует, что эта интегральная кривая есть спираль

Если эта интегральная кривая замкнута, т. е. то — периодическое решение. Покажем это. Пусть вообще дана система уравнений

и решение обладающее свойством

Покажем, что это решение периодическое:

Из (1.55) имеем

Введем новые переменные

Имеем

На основании (1.58) получим

Имеем начальные условия

Решением уравнений (1.59) с такими начальными условиями будет только откуда и следует (1.56).

Ляпунов нашел необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения уравнений (1.51). В этом случае все решения при если они начинаются вблизи начала координат. Значит, все интегральные кривые в окрестности начала координат будут

спиралями. Особая точка в этом случае называется фокусом. Пуанкаре, рассматривая уравнения (1.51), нашел необходимые и достаточные условия, при выполнении которых все интегральные кривые в окрестности точки будут спиралями. Эти условия Пуанкаре, естественно, совпадают с условиями асимптотической устойчивости нулевого решения Ляпунова.

Они также показали, что если эти условия не выполнены, то все интегральные кривые в окрестности начала координат будут замкнутыми. В этом случае точка называется центром. Ими доказана и такая

Теорема. Для того чтобы точка для системы (1.51) была центром, Необходимо и достаточносуществование голоморфного интеграла

где — сходящийся степенной ряд, начинающийся с члёнов не ниже третьей степени. При малых — это будет замкнутая интегральная кривая, близкая к окружности При эта замкнутая кривая стягивается точку. И требуется лишь формальное равенство

а сходящийся ряд всегда найдется [57, с. 170].

Мы не будем доказывать этого утверждения и отсылаем читателя к Ляпунову. Здесь решение системы (1.51) будет устойчивым, но не асимптотически. Заметим еще, что если заменим в интеграле то получим

где — полином от откуда на основании теоремы из неявных функций получим и

где также полиномы от Из (1.53) найдем

где

— полиномы от Можно написать и так:

В частности, может оказаться

где — постоянная , пусть — нечетное 3. Здесь» как показал Ляпунов,

Если точка — центр, то интегральные кривые получим в виде (1.61), удовлетворяя этим рядом уравнению (1.62). Если же невозможно все найти периодическими, то будет фокус и будем иметь (1.64) и (1.65). Как можно построить уравнения интегральных кривых в этом случае при всех Уравнение (1.62) можно записать так:

Интегрируя это в промежутке , получаем

Покажем, что

Если ограничено при то это очевидно. Если же то, по Лопиталю, имеем

как Это позволяет получить

Отсюда

где

Мы выполнили лишь первый шаг в методе работы [21], где далее и получается в виде суммы малых возрастающих порядков. Ляпунов показал, что в случае фокуса уравнение (1.62) всегда можно привести к виду (1.64), что фокус обнаруживается конечным числом действий, но заранее неизвестно их число. Случай же центра будет иметь место при выполнении бесконечного числа некоторых равенств, проверка которых весьма трудна. Поэтому признаки наличия фокуса и центра строятся с большим трудом. Во многих работах эта задача решалась, когда в уравнении — полиномы и притом не выше 5-й степени. Необходимые и достаточные признаки построены лишь для случая, когда Р и Q — полиномы второго порядка. В других случаях найдены только достаточные признаки центра Во всех этих случаях, когда установлено, что какая-нибудь из точек определяемая условиями есть центр, удалось построить качественную картину расположения интегральных кривых на всей плоскости и доказать отсутствие изолированного периодического решения Но будет ли

это всегда хотя бы в случае, когда Q — полиномы? (См. [XXX]).

Укажем в качестве примера один простои признак, когда точка будет фокусом для системы (1.51). Из (1.51) имеем

Пусть

и

Тогда

Здесь — ряд, начинающийся с членов измерения 5. Если теперь форма

знакоопределенная, то точка будет фокусом: если то при если же то при согласно теореме Ляпунова

Подведем итоги рассмотрения уравнения (1.1). Как мы видели, надо различать 4 типа уравнений, содержащихся в общем виде уравнения (1.1), в связи с 4 различными формами канонической матрицы, соответствующими матрице

I. В этом случае вопрос приводится к построению решения при уравнения (1.19).

II. Здесь, если то снова задача приводится к рассмотрению уравнения (1.19). Если же то мы приходим к уравнению (1.38), отличному вообще от (1.1). Здесь мы лишь указали работы, в которых изучена система 1 (1.37).

III. Если то интегральные кривые суть спирали, закручивающиеся вокруг начала координат. Интегральные кривые можно построить в виде (1.45).

IV. Здесь в окрестности начала координат, согласно теореме Ляпунова и Пуанкаре, все интегральные кривые будут либо замкнутыми (центр), либо спиралями (фокус). В случае фокуса шаг за шагом можно строить интегральные кривые по четвертям на основе того, что уравнение имеет решение при при Можно в случае фокуса построить интегральные кривые системы (1.51) для в виде сходящихся рядов Пикара — это показано в главе III. Но, как и для системы (12.21) главы III, эти ряды не будут сходиться равномерно в промежутке

Как мы видели, построено и асимптотическое представление решений, при котором более отчетливо видна аналитическая [23] и геометрическая форма интегральной кривой при т.е. на бесконечном промежутке или в окрестности

Теперь рассмотрим частный случай уравнения (1.1), именно уравнение (1.19), для которого рассмотрим вопрос о существовании решения при