§ 3. Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами

В главе II отмечалось, что решение систем уравнений можно искать приведением задачи к одному или нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией. Этот метод особенно удобен при рассмотрении систем (3.1) с постоянными коэффициентами, так как, исключая неизвестные функции, мы всегда получаем линейное уравнение с постоянными коэффициентами с одной неизвестной.

Пример.

Имеем Подставим сюда значение из первого уравнения: Получим или Характеристическое уравнение имеет вид Следовательно, имеем Из найдем Если в не очень большое, а правые части имеют простой вид (коэффициенты численные), то такой метод нахождения решений часто бывает практически удобен. Но так трудно установить структуру фундаментальной системы решений и тем самым структуру общего решения системы (3.1).

Рассмотрим еще один пример:

Отсюда легко найдем общее решение

с произвольными постоянными.

Фундаментальной системой решений здесь будет, например, система решений

Здесь в каждой строчке стоит, очевидно, решение системы (3.2). Но можно указать и другие фундаментальные системы. Именно берем решение этой системы в виде

Полагая получаем решений. Если определитель то система решений будет фундаментальной, так как здесь

Будем искать решение системы (3.1) в виде

где — постоянные, пока неопределенные. Если подставим (3.4) в (3.1), перенесем члены в одну сторону и сократим на множитель то получим

Таким оразом, для определения и Я имеем линейных однородных алгебраических уравнений. Чтобы существовало ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю:

Отсюда видим, что должно быть характеристическим числом матрицы коэффициентов уравнений (3.1)

Пусть — корень уравнения (3.6). Тогда из уравнений (3.5) мы найдем ненулевое решение и функции (3.4) будут решением уравнений (3.1).

Если — вещественные различные корни уравнения (3.6), то получим решений

Можно доказать, что они линейно независимые, поэтому общее решение уравнений (3.1) имеет вид

В главе IV мы видели, что если X — кратное характеристическое число однородного линейного уравнения порядка с постоянными коэффициентами, то соответствующие решения сразу находятся. Здесь в случае системы (3.1) это намного сложнее. Если мы знаем, что Я — кратный корень уравнения (3.6), то еще нельзя указать вид соответствующих решений, так как он определяется видом жордановой канонической матрицы, соответствующей матрице Р.

Замечание 3.1. Если — комплексное решение уравнений (3.1), то отдельно являются решениями данной системы. Это докажется так же, как такое же утверждение для линейного однородного уравнения порядка с вещественными коэффициентами. Прежде чем рассматривать уравнения (3.1) в общем случае, познакомимся с некоторыми простейшими операциями над матрицами.