§ 2. Уравнение Брио и Буке

Будем искать решение

Прежде всего ответим на вопрос, при каких условиях решение (2.2) будет голоморфным, т. е. представляется в виде сходящегося ряда

Подставим (2.3) в (2.1):

Сравнивая здесь коэффициенты при справа и слева получаем

Пусть

Тогда все коэффициенты определяются по формулам (2.4) единственным образом. Отсюда следует, что если существует голоморфное решение с особой начальной точкой (0, 0), то такое решение единственно. Докажем сходимость ряда (2.3). Очевидно, существует В такое, что

так как b Пусть — мажоранта для т. е. ряд

сходится и

За можно взять ряд, полученный из заменой на или можно положить

Рассмотрим решение уравнения

обладающее свойством при . Это решение существует, единственно и голоморфное на основе теории неявных

функций [16]. Действительно, равенство выполняется, если будет голоморфной в окрестности этой точки. Имеем также

А тогда, согласно теории неявных функций, существует решение уравнения (2.7) и притом единственное и голоморфное

где определяется согласно равенствам (2.4):

Действительно, подставим (2.8) в (2.7):

Отсюда, очевидно, получим в силу

если это последнее имеем. Отсюда следует сходимость ряда (2.3). Этим доказана 1

Теорема 2.1. Если - целое , то существует единственное голоморфное решение уравнения (2.1) вида (2.3), обладающее свойством (2.2).

Но здесь остается нерешенным вопрос о решении, обладающем свойством (2.2) и неголоморфном. Сначала рассмотрим вопрос о существовании решения (2.3) при условии — целое положительное число. Пусть

Тогда, согласно (2.4), из видим, что если то решения (2.3) нет. Если же т.е. уравнение (2.1) имеет вид

то, полагая

где — новая неизвестная функция, получаем

или после сокращения на

Здесь — голоморфная в окрестности точки функция, т. е. ряд (2.13) сходится в области По теореме Коши уравнение (2.13) имеет решение

где - произвольная постоянная и ряд (2.14) сходится в области

Следовательно, уравнение (2.1) в случае (2.10) имеет решение

с произвольной постоянной в (2.14). Само собой разумеется, что произвольная постоянная входит и в коэффициенты и Следовательно, в случае в начало координат входят решения (2.16) уравнения (2.1) под любым углом конечное. Но интегральная кривая

уравнения (2.1) входит в начало координат под углом Причем вдоль каждой прямой входит лишь одна интегральная кривая. Покажем, что (2.16) является общим решением в области

т. е. за счет выбора в (2.16) получим интегральную кривую, проходящую через любую точку области (2.18). Через любую точку области (2.18), очевидно, проходит только одна интегральная кривая — это видно из уравнения (2.1) или соответственно уравнения

так как в каждой точке области (2.18) будет или (знаменатель уравнения или

(знаменатель уравнения (2.19)), если малое.

Запишем уравнение (2.11) в параметрическом виде

Эта система является частным случаем системы (12.13) главы III. Здесь поэтому условие

где -целые положительные или нули, выполнено.

Мы показали, что общее решение такой системы в окрестности точки имеем в виде ряда

сходящегося при 0 и достаточно малых Другими словами, решение системы (2.20), проходящее через любую точку области (2.18), получим в виде (2.22) при соответствующих значениях При как видно из (2.22), имеем Здесь (2.22) является параметрическим представлением решений (2.16). Найдем значения соответствующие значению «о в (2.16). С этой целью рассмотрим

Отсюда видим, что при имеем

Поэтому

Отсюда видим, что (2.16) также является общим решением в области (2.18).

Замечание 2.1. Из первого уравнения (2.22) имеем сходящийся ряд

а подставляя это во второй ряд (2.22), получаем

что совпадает с (2.16).

Теперь предположим в уравнении (2.1)

т. е. это уравнение имеет вид

Теперь коэффициент в ряде (2.3) определяется по формуле

Учитывая это, вводим новую неизвестную функцию и равенством

Подставляя это в (2.26), после сокращений получаем

Сокращая на х, имеем

Здесь содержит члены измерения 3. Окончательно это можно переписать так:

Полученное уравнение снова типа (2.26), но здесь вместо стоит Повторяя это преобразование несколько раз, приходим к уравнению вида (2.26), где После этого будем иметь

где удовлетворяет уравнению типа (2.26) с фиксированные постоянные. Пусть уравнение типа

Уиху Справедлива

Теорема 2.2. Если в уравнении то уравнение (2.26) не имеет решения при в виде (2.3). Если же то такое решение имеем в виде (2.31), т. е. в виде

где — произвольное, а известным образом зависят от

Замечание 2.2. Как мы видели, если положим то для уравнения (2.32) получим представления вида (2.22). Подставляя же эти ряды в (2.31), мы и для у снова получим ряд вида (2.22), т. е. представление у в виде ряда по степеням Если же теперь запишем уравнение (2.26) в параметрическом виде

то имеем и условие при будет нарушено, так как при будет Однако и в этом случае при условии в уравнении (2.32) будем иметь для разложения типа (2.22), т. е.

Отсюда видим, что это является общим решением уравнения (2.26) в области Общим решением будет и (2.33). Здесь легко найти и через

Таким образом, если в уравнении целое то имеется только одно голоморфное решение, удовлетворяющее условию (2.2). Но здесь возникает вопрос о наличии неголоморфных решений, обладающих свойством (2.2). Если же

целое , то либо нет голоморфных решений, обладающих свойством (2.2), либо их бесконечное множество, и они составляют общее решение в окрестности точки (0, 0), представимое в виде (2.33) или в параметрическом виде (2.35).

Пусть

Тогда имеем единственное голоморфное решение обладающее свойством (2.2). Покажем, что в этом случае вообще нет других решений, обладающих свойством (2.2). С этой целью введем новую переменную z

Подставим это в (2.1):

Так как - решение уравнения (2.1), то здесь члены, содержащие только х, сокращаются. Следовательно, для определения z имеем

Здесь в скобках отсутствует — голоморфная в окрестности точки Запишем это уравнение так:

где

— голоморфная в окрестности точки

Если уравнение (2.1), кроме голоморфного имеет другие решения при то имеем при Возьмем в окрестности точки точку Интегрируя последнее уравнение, получаем

или, так как

то

Здесь поэтому при левая часть правая стремится к так как остальные слагаемые ограничены. Это невозможно, поэтому нет при Мы доказали, что если то уравнение (2.1) имеет единственное решение при и это решение будет голоморфным, Очевидно, качественная картина расположения интегральных кривых в окрестности точки в этом случае будет такой, как показано на рис 13.

Рис. 13

Интегральная кривая, соответствующая голоморфному решению, проходит через начало координат вдоль прямой 1

Замечание 2.3. Если рассматриваем уравнение (1.1) и именно случай (1.10), где то в уравнении (2.1), согласно (1.12), будет Тем самым получим для уравнения (1.1) одну интегральную кривую, проходящую через (0,0), вида (так как в (2.1) вместо у надо подставить (в соответствии с (1.13)) ). Но, согласно здесь

будет еще одна интегральная кривая, проходящая через (0,0), вида где Для исходного уравнения (1.1) мы имеем только две интегральные кривые, проходящие через (0, 0). Тем самым качественная картина соответствует 1 рис. 14.

Рассмотрим теперь случай т. е. уравнение

где - ряд, начинающийся с членов измерения. Пусть — голоморфное решение этого уравнения 2, обладающее свойством при

Рис. 14

Полагаем

Получим

Так как здесь — решение уравнения (2.38), то все члены, не содержащие сокращаются. Следовательно, имеем

где — ряд, начинающийся с членов измерения. Полагаем и сокращаем на множитель

Здесь (условие (2.36)), поэтому, кроме голоморфного решения других решений при нет. Из (2.42) имеем

и видим, что нет решения

так как имеем только

При фиксированном и малом имеем

Из этого видим, что любое значение при достаточно малых функция принимает только один раз, или возрастая, или убывая. Поэтому нет такого что при не имеет предела. Другими словами, возможно только при Пусть при Тогда, полагая

будем иметь при Из (2.41) имеем

Подставим сюда (2.45) и сократим справа на z числитель и знаменатель:

Это можно записать так:

Тип полученного уравнения совпадает с (2.41), поэтому будем изучать только уравнение (2.41). Рассмотрим вопрос о существовании решения уравнения (2.41), обладающего свойством

Если такого решения нет, то, кроме голоморфного (2.39), нет решения уравнения при Возвращаемся к уравнению (2.41), которое запишем так:

Уравнению (2.47) соответствует система

Здесь первого приближения

суть Эта система подготовлена для исследования вопроса устойчивости решения по Ляпунову. Именно, пусть Составим функцию Ляпунова

Найдем V в силу уравнений (2.49) и (2.50):

После сокращений получим

где — ряд, начинающийся с членов третьего порядка. Мы видим, что V принимает в какой угодно близости от точки значения или в зависимости от знака будет знакоопределенной — положительной или отрицательной. Согласно теореме 5.3 Ляпунова (§ 5, глава VI), решение системы (2.49), (2.50) будет неустойчивым. Причем, очевидно, это решение не будет устойчивым как при так и при так как проведенное рассуждение справедливо как при так и при Отсюда следует, что не все решения системы (2.49), (2.50) обладают свойством при (или при Значит, не все решения уравнения (2.47), начинающиеся вблизи точки обладают свойством 1

Но уравнение (2.47) имеет решение

которому соответствуют решения уравнений (2.49), (2.50)

Пусть теперь в но Составим функцию

Найдем V в силу уравнений (2.49), (2.50):

где при . Отсюда следует, что V будет знакоопределенной, т. е. будет принимать только один знак при достаточно малом именно знак функции

Пусть Тогда, очевидно, при малом , откуда, согласно второй теореме Ляпунова, следует, что решение уравнений (2.49), (2.50) асимптотически устойчиво. Если же то V не будет в окрестности точки знакоопределенной, а поэтому нулевое решение согласно третьей теореме Ляпунова, будет неустойчиво, причем как при так и при

Таким образом, при все решения системы (2.49), (2.50), начинающиеся вблизи обладают свойством

и при решения уравнения (2.41) обладают свойством при Тем самым в этом случае все решения уравнения (2.38), начинающиеся в окрестности начала координат, обладают свойством Вообще этот метод доставляет следующий общий результат.

Если в уравнении (2.47) первый из коэффициентов не равный нулю, имеем при четном то нулевое решение уравнений (2.49), (2.50) неустойчиво. Если первый из коэффициентов при нечетном то в случае решение неустойчиво (как при так и при но при это решение устойчиво и притом асимптотически. Следовательно, справедлива

Теорема 2.3. Если при то все решения уравнения 1 (2.38), начинающиеся вблизи начала координат, обладают свойством

и одно из них будет голоморфным, т. е. вида (2.39). Во всех остальных случаях не все решения уравнения (2.38), начинающиеся вблизи начала координат, обладают свойством (2.58).

Вернемся теперь к тем случаям, когда не все решения уравнения (2.38) обладают свойством при Мы изучим в этих случаях качественную картину расположения интегральных кривых в окрестности начала координат и исследуем вопрос о семействе решений, обладающих свойством (2.58). Кривая

является гиперболой, центр которой находится в точке

а асимптотами являются

Будем считать Надо различать случаи

В последнем случае (2.59) — парабола

Рис. 15

Рассмотрим случай (2.64). Построим график параболы (2.65) и запишем систему (2.49), (2.50) в этом случае

Очевидно, система (2.66) имеет решение

и

Другими словами, оси являются интегральными кривыми, стрелки на которых показывают движения точек при в окрестности точки Заметим еще, что в силу единственности эти интегральные кривые не пересекаются

другими интегральными кривыми. Знаки показывают, какой знак принимает

в соответствующих областях. В силу (2.53) в окрестности точки имеем

Отсюда следует, что решение начавшееся в точке где не выйдет из области и не будет приближаться к (0, 0). Решения, пересекая параболу (2.65), входят в зону Подставляя в (2.66), получаем

Если здесь то при пересечении параболы (2.65) 2 убывает, а при А. -возрастает при И мы видим, что интегральные кривые располагаются так, как показано штриховыми линиями (рис. 15).

Рассмотрим поведение интегральных кривых в окрестности точки ниже оси х. Здесь и при возрастает, тем самым точка приближается к кривой и тем самым к точке при Заметим еще, что в области, ограниченной прямыми и окружностями функция V удовлетворяет неравенству поэтому в этой области точка не может остаться; значение при будет в конце концов меньше тех значений, которые принимает функция в этом кольце.

Замечание 2.4. Мы показали, что решения уравнения

с начальными значениями малое и малое обладают свойством при Мы показали и то, что уравнение (2.42) может иметь только решение при Значит, интегральные кривые, расположенные в области входят в точку (0, 0) вдоль оси Этим доказана

Теорема 2.4. Все решения системы при обладают свойством при Эти решения доставляют решения уравнения (2.38), обладающие свойством при

Здесь остается открытым лишь вопрос о построении этих решений, к решению которого можно подойти так.

Рассмотрим систему (2.66). Так как решение системы (2.66) при начальных значениях существует при всех 0 (если достаточно малы), то может быть построено в виде сходящихся рядов Пикара (согласно теореме 10.1 главы III), но эти ряды Пикара не будут сходиться равномерно в области 0. А, кроме того, из (2.66) имеем

Поэтому z можно найти из первого уравнения (2.66), где подставлено

Отсюда

и

Следовательно,

Это последовательные приближения Пикара для всех конечных значений

Рассмотрим уравнения (2.66), которые запишем в виде

Следовательно, первое уравнение можно записать так:

или

где

При имеем

Из (2.82) получаем

Отсюда интегрированием получим

Предположим, что

Тогда из (2.83) будем иметь

откуда получим

и этот ряд сходится при достаточно больших положительных значениях . Если же , то получим, например, в виде сходящегося ряда Пикара из (2.82) или как обратную функцию из (2.83). Чтобы получить решение при из (2.80) при положим

Тогда из (2.80) получим

Учитывая равенство (2.82) и полагая

для и из (2.87) получим уравнение

Здесь

и

Из (2.89) будем искать и в виде

При т. е. при отсюда имеем что является решением уравнения (2.89) при Отсюда, согласно теореме Пуанкаре, видим, что ряд (2.92) сходится при достаточно малых 6 в промежутке

Дифференцируя (2.92), получаем

Подставим (2.92) и (2.94) в (2.89):

Будем сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа. Тем самым мы сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях е. Сначала приравняем коэффициенты при первых степенях

Отсюда получаем

Сравнивая же коэффициенты при получаем

где — полиномы от своих аргументов и при Из (2.98) найдем

Так шаг за шагом мы найдем все коэффициенты ряда обладающие свойством

Мы отметили, что ряд (2.92) сходится в области (2.93), если 8 достаточно мало. Но, очевидно, этот ряд будет сходиться и при всех так как при увеличении Т мажоранты рядов (2.90), (2.91), построенных в области будут тем более пригодны при больших значениях ввиду того что

Таким образом, мы получили и в виде (2.86) решение при первого уравнения (2.66). Тем самым мы получили в параметрическом виде все решения при уравнения (2.47) при условиях (2.64) и Из этих разложений, однако, мы не видим главную часть решения в окрестности или главную часть интегральной кривой в окрестности которое можно получить так. Рассмотрим уравнение (2.79), запишем его в виде

Здесь ряды сходятся при — постоянные, а с постоянными Следовательно, ряды равномерно сходятся в области при малых е. Введем новую неизвестную со

где поэтому при Подставим это в (2.100):

Сокращая подчеркнутые члены и умножая на получаем

Мы знаем, что при поэтому, как видно из (2.101), должно быть при Наряду с (2.102) рассмотрим уравнение

Заметим, что так как то при достаточно малом е. Очевидно, будет и

Из (2.103) имеем

Пусть Тогда ввиду (2.104) имеем при Из (2.102) и (2.103) легко найдем

Так как

то

По теореме Лопиталя будет и при или Следовательно, имеем

где при На основании (2.101) получим

где при дано формулой (2.105). Придадим (2.107) другую форму. Так как то можно написать

где постоянные. Пользуясь этим, (2.105) можно записать в виде

где а — постоянное и Подставляя это в (2.107), получаем

Мы нашли асимптотическое представление или главную часть при На основании легко получить и асимптотику интегральной кривой Полная теория этого метода будет дана в X главе. Все эти рассуждения можно провести и в других случаях уравнения (2.38), т. е. можно изучить качественную картину в окрестности точки и построить уравнения интегральных кривых.