§ 9. Принцип кольца

Теперь рассмотрим принцип кольца, позволяющий установить наличие периодического решения системы двух дифференциальных уравнений.

Теорема. Пусть дана система двух дифференциальных уравнений

для которой выполнены условия существования, единственности решения задачи Коши и непрерывной зависимости от начальных

значений в области содержащей кольцо (а), ограниченное замкнутыми кривыми причем находится внутри области, ограниченной кривой Обозначим через область, лежащую вне кривой 1% а через область, ограниченную кривой Предположим, что точки всякого решения, начинающегося в точках на кривой при будут находиться в области начинающегося в точках кривой — в области Тогда в кольце (а) имеется замкнутая интегральная кривая.

Доказательство. В силу непрерывной зависимости решений от начальных значений для точек есть окрестность такая, что все решения, начинающиеся в этой окрестности, попадают в область и там остаются. Существует окрестность точек такая, что решения, начинающиеся в этой окрестности, попадают в область и там остаются. Предположим, что существует замкнутая кривая L (окружающая которая является общей границей 1 областей . Тогда эта кривая L и есть интегральная. Действительно, пусть есть точка кривой Проведем через нее решение I уравнений (9.1). Решение I не может сойти с кривой так как если, например, сойдя с войдет в область то и все решения из окрестности этой точки в силу непрерывной зависимости решения от начальных значений попадают в область . Но это противоречит тому, что — граничная точка и для области , так как в окрестности точки имеются и точки области . Также I не может попасть и в область . Но тогда интегральная кривая I остается на которая и есть интегральная кривая. Может, конечно, случиться, что на кривой L имеются точки равновесиясистемы (9.1), и тогда она не является замкнутой интегральной кривой в строгом смысле, т. е. не будет такого Т, что имеем

так как если точка — точка равновесия, т. е.

то

при и если то Но если в кольце (а) нет точек равновесия и

когда , то конечное Т найдется, для которого имеем (9.2). Например, это будет, если — непрерывные периодические с периодом

Если при этом то L — периодическое решение с периодом Если, в частности, не содержат то для всякого Т, если

кривая L - периодическое решение с периодом Т. Если в кольце (а) нет точек равновесия и границей является а границей является то отдельно являются замкнутыми кривыми. Заметим еще, что если при движения входят в кольцо (а), то наши рассуждения не изменятся. Впрочем, этот случай при переходит в прежний. Но можно и здесь пользоваться теоремой Боля—Брауэра.

Покажем это. Пусть кривая непересекающаяся и соединяющая какую-нибудь точку кривой с точкой кривой I% взаимно однозначно и непрерывно отображается на отрезок. Например, — кратчайшая среди таких кривых. Предположим еще, что все интегральные кривые

попадающие на кривые и 1% входят в (а). Предположим, что и условие выполнено. Тогда если то найдется такое, что

Это следует из того, что кривая не может выйти из кольца (а). Тем самым мы имеем преобразование кривой в себя, вернее, в свою часть. По теореме Боля — Брауэра имеется единственная точка покоя такая, что

Если Р и Q удовлетворяют условию (9.4) и то решение

— периодическое с периодом Может, конечно, случиться, что Р и Q — периодические с периодом и в (9.5) при всех будет т. е.

Тогда решение (9.7) и будет периодическим.

Предположим, в частности, что система (9.1) имеет вид

т. е. Р и Q не содержат и имеем кольцо (а), в которое входят решения при возрастающем котором нет точек равновесия системы (9.9). Тогда решение

при возрастающем не может выйти из кольца и в силу (9.3) найдется такое что будет

Следовательно, существует (и притом единственная) такая точка что будет

Тогда решение

будет периодическим с периодом Т.

Замечание. Очевидно, множество значений ограничено и замкнуто, поэтому имеем точную нижнюю границу этого множества. Не будет ли Или, может быть, среди интегральных кривых, обладающих свойством (9.10), периодическое решение доставляет экстремум какой-то другой величины? Если это так, то мы можем находить периодическое решение, а не только устанавливать его существование.

Пример,

Пусть Тогда в силу уравнений

на окружности имеем

Наименьшее и наибольшее значения соответственно суть 1/2 и 1. Поэтому при имеем

а при будет

Отсюда следует, что в кольце имеется и притом единственное периодическое решение уравнений так как через окружности решения выходят из этого кольца.

Пример. Пусть Тогда

Отсюда видим, что интегральные кривые при входят внутрь окружности при и выходят из этой окружности, если , так как на этой окружности при при . Следовательно, между окружностями имеется периодическое решение. Таким решением, очевидно, здесь будет

Покажем теперь, как можно воспользоваться функцией типа Ляпунова, содержащей

Теорема 9.1. Пусть имеем обладающую свойством

что, конечно, не означает периодичности относительно Неравенство

определяет конечную область с границей которая является замкнутой поверхностью.

в окрестности граничных точек области и на границе. Прямые, проходящие через точки области (9.14), пересекаются с поверхностью только в двух точках. Тогда система (8.1) имеет периодическое решение с периодом

Действительно, на основании леммы 1.1 видим, что решение начавшись в области в момент будет находиться в области и, следовательно, при в силу (9.13) попадет снова в область Если же решение началось в граничных точках области т. е. в точках то при оно должно вернуться на границу иначе будет нарушена непрерывная зависимость решений от начальных значений, так как окрестность граничных точек (из области вернулась в область Следовательно, имеем преобразование области в себя, поэтому существует неподвижная точка что и доказывает теорему.

Пример,

Пусть

На границе имеем поэтому на границе

Функция достигает минимума при Этот минимум равен поэтому при большом а на границе Для рассматриваемой системы (9.16) выполнены все условия теоремы (9.1), поэтому она имеет периодическое решение с периодом