§ 12. Устойчивость по Ляпунову. Еще об общем решении

Пусть дана система

Предположим, что задана непрерывно в области т. е.

Если по всякому можно указать такое , что всякое решение существует при и

если

то решение называется устойчивым по Ляпунову. Если, кроме (12.3), имеем еще

то нулевое решение называется асимптотически устойчивым. Если точкой равновесия будет то, очевидно, ее легко перевести заменой переменной в начало координат. Поэтому соответственно можно рассматривать устойчивое (асимптотически устойчивое) решение Если при то решение устойчивое, а если еще и при то оно асимптотически устойчивое. Зообще решение устойчивое, если при если еще при то решение асимптотически устойчивое. Если — асимптотически устойчивое решение, то окружает область А (у), в которой начинаются решения обладающие свойством при Область называется областью притяжения асимптотической устойчивости нулевого решения. Для систем (11.17), (11.18) и (11.20) нулевое решение является асимптотически устойчивым. Для систем (11.17) и (11.18) областью притяжения нулевого решения является внутренность окружности

Пусть нулевое решение системы (12.1) асимптотически устойчиво и в окрестности каждой точки области притяжения выполнены условия теоремы Пикара. Как показано в работе область притяжения ограничена траекториями. Эта область асимптотической устойчивости является односвязной областью. Очевидно, решения, начинающиеся в области А (у):

существуют при при Но тогда, как мы показали, это решение представимо в виде сходящихся рядов Пикара при

где определяются рекуррентно:

Предположим теперь, что решения (12.6) продолжимы и при т. е. решение (12.6) не выходит из области при Это означает, что точка решения (12.6) не стремится к границе области при (конечное). Тогда решение (12.6) при произвольном постоянном будет общим в области Здесь выполнены условия, аналогичные условиям в области (11.10), при которых (11.11) является общим решением.

Рассмотрим частный случай системы (12.1)

где ряды справа сходятся в некоторой области, окружающей начало координат коэффициенты суть вещественные постоянные числа. Пусть характеристические числа матрицы где означает вещественную часть X. Ляпунов доказал, что нулевое решение этой системы будет асимптотически устойчивым 1.

Пусть — область притяжения нулевого решения. Мы показали, что метод Пикара позволяет построить в этой области решение в виде сходящегося ряда при 0, членами которого здесь будут ряды от Но из этого представления решений мы не видим асимптотического поведения этих решений — поведения решений при Ляпунов построил здесь и общее решение, но лишь в некоторой окрестности начала координат (содержащейся в Это общее решение имеет вид

Здесь -произвольные постоянные, от них не зависят и являются либо постоянными, либо полиномами от Ляпунов показал, что эти ряды сходятся при достаточно малых

Замечание 12.1. Если то, согласно теореме Ляпунова, вместо (12.9) имеем при Это - параметрическое семейство решений, стремящихся

к 0. Если же имеем (12.10), где то не содержит

Мы построим такое решение, предполагая, что все — различные отрицательные числа

где

— целые числа. В этом случае заменой

где - вещественная постоянная матрица, имеющая преобразуем систему (12.8) в систему

Обозначим (см. [16])

и покажем, что решения уравнений (12.13) в окрестности начала координат представимы в виде сходящихся рядов

где — постоянные. Имеем

Подставим ряды (12.15) в (12.13) и сравним коэффициенты при и справа и слева, тогда получим

где — полиноме положительными коэффициентами от коэффициентов рядов (12.13) (после замены найденных

уже коэффициентов с суммой меньшей, чем эта сумма значков, стоящих слева в (12.16). На основании (12.10) и потому что , имеем

Таким образом, мы найдем коэффициенты рядов (12.151, формально удовлетворяющих уравнениям (12.13). Сходимость рядов (12.15) докажем следующим образом. Построим вспомогательные равенства

где правые части являются мажорантами для правых частей (12.13) (например, ) Будет искать решения уравнений (12.18) в виде

Для определения коэффициентов мы получим формулы

где - такой же полином, как и в (12.16), но вместо стоят соответствующие коэффициенты рядов (12.18) и в знаменателях вместо стоит

то имеем

и из сходимости рядов (12.19). следует сходимость рядов (12.15).

Сходимость же рядов (12.19) докажем так. Перепишем равенства (12.18) после переноса правых частей в левые части в виде

Эти равенства выполняются при

и при таких значениях имеем якобиан

Как известно [16], отсюда следует, что ряды (12.19) сходятся при , где А — постоянное положительное число. Тем самым доказано, что мы имеем решение уравнений (12.13) в виде сходящихся рядов (12.15). Эти ряды будут сходиться при , тем самым они будут сходиться при если

Решение (12.15) является общим — произвольные постоянные) в некоторой окрестности D начала координат в том смысле, что, выбирая соответственно значения постоянных получим любые начальные значения из Действительно, при из (12.15) получим

Отсюда также на основании теории неявных функций а, определяются в виде

где ряды справа сходятся при Если желаем получить решения то полагаем в и находим

откуда

Здесь поэтому при будет что невозможно, так как должно быть Тем самым получаем лишь ограниченный промежуток для в котором можно задавать начальное значение Но, увеличивая Т, мы будем уменьшать так, что как угодно большому Т найдем соответственно малое значение и тем самым малую окрестность начала координат в которой определено общее решение уравнений (12.13). Как мы видели, по методу Пикара можно получить общее решение во всей области притяжения и для промежутка в только что рассмотренном смысле.

Замечание 12.2. Если только то, полагая и, получаем решение (12.15)

с параметрами, но при условии (12.10), где

Пример. Решение этих уравнений легко найдем в виде

Отсюда

где, очевидно, ряды сходятся в области

Здесь точками равновесия будут: (рис. 10). Точка (0, 0) асимптотически устойчива. Областью притяжения здесь будет область, ограниченная: справа прямой и сверху прямой

Рис. 10

Действительно, если начальное значение при Если же значение то и, следовательно, снова при Пусть начальные значения суть Найдем соответствующее значение Q из (12.22):

Видим, что

Следовательно, значения С, из промежутка дают начальные значения При таких значениях имеем и ряд (12.23) сходится при Другими словами, при мы не можем (чтобы пользоваться разложением начальное значение брать из всей области притяжения.

Аналогичный результат имеем для у. Таким образом, даже при мы не можем брать из всей области притяжения.

Если то при будет т. е. при больших будем иметь общее решение в виде (12.23) при в малой окрестности начала координат

а при будем иметь решение в виде (12.23) в области — Но, как мы показали, ряд Пикара доставляет решение системы (12.23) во всей области притяжения и в промежутке Это общее решение мы получили в виде рядов по полиномам от

где определяются равенствами

Это решение суть

Будет ли решение (12.25) общим решением для уравнений (12.21) во всей области притяжения и Покажем, что это будет так только для области

Действительно, пусть точка принадлежит этой области. Найдем такие в (12.25), что решение (12.25) пройдет через точку Построим решение

Решение (12.26) построим по методу Пикара. Оно существует при всех так как при имеем при будет Следовательно, решение (12.26) существует и при Имеем

При таких значениях решение (12.25) пройдет через Если же принадлежит даже промежутку то мы можем не найти значений в (12.25), при которых решение (12.25) пройдет через точку Действительно, решение (12.26) может существовать лишь при так как при может быть т. е. решение (12.26) не существует при и мы не имеем (12.27). Это видно из (12.22). Полагая в получим

Так как то Поэтому при может быть, , как видно из (12.22). Следовательно, если берем произвольные из области то решение (12.25) определено при при но (12.25) не является общим решением во всей области притяжения.

Замечание. В определение общего решения входит область через каждую точку которой проходит решение

которое можно получить из общего при некоторых значениях Здесь автоматически включается и продолжимость решения в области если решение прекращается в точке то это означает, что принадлежит границе Здесь главным является значение Значения могут быть определенными или, наоборот, неопределенными, когда, например, при не имеют определенных значений или когда