§ 8. Уравнение. Построение предельного цикла

Запишем это уравнение в виде системы

при имеем

Введем вектор и запишем систему (8.1) в виде

где — вектор и — матрица. Пусть

(кликните для просмотра скана)

Решение с уравнения (8.3) можно записать в виде

Можно ли при каждом (малом) указать такое что будет периодическим с периодом И будет ли где Если непрерывное по периодическое с непрерывными периодом со существует, то, как видим из (8.8), будет

стремится к периодическому решению предельной системы (8.2). Если — периодическое с периодом со то имеем или

Очевидно, это условие необходимое и достаточное для существования периодического (глава XI, § 4). Отсюда найдем

Как видно из (8.7), — непрерывная от матрица. Из (8.4) видим, что не будет периодической при поэтому но при так как — периодическая с периодом тем самым или где при т. е. (8.9) должно выполняться при некотором и некотором Так как периодическое решение расположено вокруг начала

координат, то можно положить или или Пусть Так как то, как видим из (8.8), На основании (8.7) имеем

и

поэтому (8.8) на основании (8.4) можно записать в виде

или

Подставляя сюда получаем приближенные значения

Мы получим и члены второго порядка относительно и, но они не будут точными. Если же подставим вправо найденные значения то получим х и у с точностью до второго порядка относительно . На основании всего этого мы (8.9) можем записать в виде двух равенств:

Эти равенства можно записать и так:

Здесь выделены члены первого порядка относительно Первое равенство можно сократить на множитель Запишем еще (8.10) на основании и (8.4) в виде

Здесь Так как при то при что и видно из (8.4).

Подставляя и удерживая члены до второго порядка относительно а и х, получаем

Также найдем с точностью до членов второго порядка

Пользуясь этими равенствами, (8.11) запишем так:

Если в матрицах оставим только малые первого порядка, то

Нам нужно найти значение По теореме Пуанкаре — Ляпунова система (8.1) имеет решение вида

где — решение предельной системы (8.2). Это решение (8.14) можно получить методом последовательных приближений из (8.8) или (8.82), принимая за первое приближение

Но можно коэффициенты рядов (8.14) получить и непосредственно, подставляя (8.14) в уравнения (8.1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Подставляя ряды (8.14) в уравнения (8.1), получаем

Отсюда получим

Решением уравнений (8.16) при условии будет

Из (8.17) получим

откуда

Найдем значение на основе (8.14) с точностью до порядка :

С точностью до следовательно, имеем

откуда еще более грубое приближение

Легко получаем

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Отсюда имеем два равенства:

Второе равенство получено после сокращения на Из (8.23) получим а Из (8.24) найдем

или

где — малая порядка вместе с Таким образом, существуют

при поэтому существует периодическое решение уравнений (8.1) с периодом Это решение представимо в виде (8.14), где ряды сходятся при всех (и достаточно малых Эти ряды можно найти непосредственно из (8.1) или последовательными приближениями из Но в рядах (8.14) должно стоять именно то при котором (8.14) будет искомым периодическим решением. После того как ряды (8.14) найдены — непосредственно или методом последовательных приближений из или из (8.82) (это развернутая запись (8.8)), найдем из (8.9) или (8.83). Но можно строить периодическое решение, когда доказано его существование, иначе. Это увидим позднее. А сейчас отметим, что можно иначе доказать существование при Возвращаемся к рядам (8.14) и возьмем приближенно

Мы ищем решение (8.14), обладающее свойством

которое в этом случае будет и периодическим с периодом Рассмотрим вместо (8.28) приближенные равенства

на основе (8.27), где даны равенствами (8.18). Таким образом, рассмотрим равенства

или, так как

В силу (8.18) имеем

Сокращая эти равенства на и заменяя получаем

Перше равенство перепишем в виде

откуда имеем Но для полного уравнения решением не будет. Для полного уравнения

решением будет а при Это мы и получим уже из уточненного уравнения

где получено из уравнений (8.17) в виде К этому уравнению нужно присоединить второе уравнение (8.29), из которого при найдем Следовательно, найдется при Легко видеть, что уравнения (8.28) определяют при В уравнениях (8.28) надо положить и искать при Но после того, как доказано существование периодического решения, в котором при (например, как мы это сделали двумя способами или по методу Каменкова), построение этого периодического решения можно осуществить так. Изменим знак х и запишем систему (8.1) в виде

После введения полярных координат получим

При имеем в частности Согласно теореме Пуанкаре — Ляпунова, имеем решение

Этот ряд сходится в любом интервале при достаточно малом Но доказано, что при достаточно малом решение (8.31) будет замкнутым и, следовательно, периодическим с периодом А тогда будут периодическими с периодом Запишем уравнение (8.30) в виде

и подставим сюда ряд (8.31)

Сравнивая здесь коэффициенты при первой степени получаем

откуда

что и должно быть. Следовательно, замкнутое решение (8.31), соответствующее периодическому решению, приближенно имеем в виде

Также легко последовательно найдем и все Предположим, что мы нашли решение (8.31), т. е. нашли В соответствии с (1.3) имеем

Подставим сюда значение

Пусть

Тогда

Период T рассматриваемого периодического решения будет

Из (8.35) неявно имеем

поэтому из (8.31) имеем

и

Это и есть искомое периодическое решение с периодом (8.36). Здесь легко найти приближенно период Т и область сходимости

К этой главе дополнительно рекомендуем работы [19, 58, 85, 99, XIII, XVIII—XXI, XXIV—XXX].

Мы в этой книге не коснулись многих направлений теории дифференциальных уравнений. Например, начиная с работ А. Н. Тихонова, изучаются бесконечные системы дифференциальных уравнений. Это направление широко разрабатывается алма-атинской школой (работы К. П. Персидского и О. А. Жаутыкова — «Известия АН КазССР», «Октябрь и наука Казахстана», Алма-Ата, «Наука», 1967; О. А. Жаутыкова— «Укр. матем. журнал», 1965, т. XVII, № 1, 39—46; «Дифференц. уравнения», 1965, т. 1, № 2).

Не затронули мы и уравнений с запаздывающим аргументом. Первой по этому вопросу является монография А. Д. Мышкиса [63], вопросы устойчивости решений таких уравнений рассмотрены Н. Н. Красовским. Обзор по этим разделам см. в «Истории отечественной математики», т. 4 (Киев, «Нау-кова думка», 1970). Дополнительно ко всем главам можно рекомендовать такие работы: [1, 4, 5, 7, 16, 18, 41—45, 54, 65, 66, 79, 85, 94, 95, 99, 100, 102—104, 107, I, III, XIII, XIV, XVIII—XX].