§ 16. Расположение интегральных кривых в окрестности границы области D(x, у)

С самых давних времен было принято называть особыми решениями такие, которые не получаются из решения, содержащего произвольную постоянную, т. е. из общего решения. Это естественная точка зрения, в особенности при рассмотрении уравнений, общее решение которых находим в конечной форме. И было замечено, что в точках особого решения нарушается единственность решений, что привело к новому определению особого решения как решения, в точках которого нарушается единственность. Новое определение позволяет находить особые решения как решения, состоящие из точек, в которых нарушаются, например, условия теоремы Коши или Пикара, обеспечивающие единственность решений. Такие решения во всяком случае можно рассматривать как подозрительные на особые, а совокупность таких точек искать обычно легко. Во всех рассмотренных нами примерах эти два определения особых решений оказывались равнозначными.

Но возникает вопрос: всегда ли это так? Уже при рассмотрении уравнения мы столкнулись с таким случаем, когда решение уравнения заданного в заштрихованной области (см. рис. 6) и на оси х (исключая точку не является особым согласно второму определению, так как в точках этого решения не нарушается единственность, ибо оно лежит вне той области, где расположены остальные интегральные кривые. Но такое решение особое с точки зрения первого определения, так как не получается из общего при частном значении С. Правда, это не общий случай в том смысле, что решение не лежит на границе области в которой расположены интегральные кривые. И, кроме того, если имеем семейство решений, зависящих от произвольного постоянного, и еще какое-то отдельное решение, то какова связь между этими решениями, как себя ведут решения данного семейства в окрестности особого решения? Это, как мы видели, вопрос о качественной картине в окрестности границы области в которой обеспечено существование и

единственность решений. Уже давно рассматривали и такую задачу: если построено общее решение , то можно ли и как с его помощью построить 1 особое решение? Как будто бы можно и вот как. Пусть - особое решение. Найдем в общем решении С в виде функции от х так, чтобы было особым решением:

Полученное равенство и определяет такое при котором будет особым решением. Кажется, что для определения надо знать особое решение. Но это не так. Действительно, подставим в дифференциальное уравнение

По определению общего решения имеем

поэтому имеем и

Итак, можно искать, не зная из уравнения (16.1). Следовательно, чтобы найти особое решение, надо исключить С из двух равенств

Получим

Но так находится, как известно из анализа, огибающая, имеющая в каждой точке общую касательную с семейством кривых . Однако кривая (16.3) может быть и геометрическим местом точек возврата или узловых. В первом случае (огибающая) имеем особое решение, а во втором случае получим кривую, которая не будет вообще решением рассматриваемого уравнения.

И все-таки появляется вопрос: всегда ли так можно найти особое решение из общего, т. е. всегда ли равенство определяет Как только стали рассматривать особые решения как решения, состоящие из точек, в которых нарушается единственность решения, обратились к уравнениям типа т. е. к уравнениям, не разрешенным относительно у, и, в частности, к уравнениям вида (14.6).

Если то в тех точках где как следует из теоремы Пикара (см. главу III), можно ожидать нарушения единственности решений. Для уравнения эти точки естественно искать среди тех точек, в которых

Действительно, чтобы найти дифференцируем по у:

откуда

Отсюда и следует, что надо искать среди тех точек, где Таким образом, точки, подозрительные на неединственность, надо искать среди таких, где выполнены равенства

откуда, исключая у, имеем

В этих точках может быть и может быть, что в этих точках корни у уравнения будут кратные, т. е. правые части соответствующих дифференциальных уравнений (13.4) совпадают. Кривая называется дискриминантной. Если уравнение имеет вид (14.6), то получится конечным числом рациональных операций над коэффициентами равенства (14.6) и называется результантом. Это будут те точки, в которых у имеет кратные значения, что показано в алгебре. Но кривая может вообще не быть решением. Если же она — решение и в ее точках нарушена единственность, то это особое решение.

Рассмотрим еще вопрос об особых решениях так. В силу нашего определения общего решения особое решение может располагаться лишь на границе области в которой определено общее решение. Мы и будем рассматривать только особые решения, расположенные на границе области в которой построено или существует общее решение.

Мы, таким образом, не связываем себя в этом случае с дискриминантной кривой.

Итак, рассмотрим возможные случаи поведения интегральных кривых уравнения (1.3) с непрерывной правой частью

вблизи границы области в том случае, когда через каждую точку проходит и притом единственное решение уравнения (1.3). Будем, кроме того, предполагать существование в области общего решения (10.1) и непрерывно дифференцируемого интеграла

Заметим, что в окрестности каждой точки интегральные кривые в этом случае проходят как почти параллельные чуть искривленные линии в силу непрерывности в области В самом деле, все интегральные кривые в окрестности точки проходят, грубо говоря, почти параллельно прямой с угловым коэффициентом не пересекаясь между собой (в силу предположения о единственности интегральных кривых, проходящих через точки области рис. 8).

Рис. 8

Пусть L есть кривая, ограничивающая область Предположим, что функция имеет предел при где — произвольная точка кривой Здесь имеются две возможности.

1. Предел не зависит от точки т. е. он один и тот же при всех Тогда можно считать определенной в замкнутой области D и

представляет собой уравнение кривой Предположим, что и уравнение (1.3) можно определить в замкнутой области полагая в точках L

Пусть и непрерывны в замкнутой области Кривую L будем предполагать непересекающейся и представимой в виде

с непрерывными производными а Тогда функцию можно определить непрерывно дифференцируемой во всей плоскости так, чтобы ее значения в D остались прежними и чтобы в точках имело место

при

В этом случае L будет интегральной кривой уравнения (1.3). Действительно, в области D имеем

Но тогда это равенство имеет место и в точках (16.6), т. е. на кривой откуда и следует, что L есть интегральная кривая. Таким образом, в этом случае граничная кривая L есть интегральная кривая, уравнение которой есть (16.6) или

Если уравнение (1.3) можно задать в области А, содержащей внутри себя область так, чтобы в этой области имела место единственность решения, то в точках границы L имеется единственность решения. Или, если имеем

то по теории неявных функций в точках L имеет место единственность решения. Таким образом, может случиться, что и уравнение (1.3) задано в D и общее решение получено в этой области причем граница L оказывается интегральной кривой.

2. Предел зависит от точки Тогда также можно считать функцию определенной в области полагая Пусть и определение продолжено до

Предположим теперь, что выполнены два условия:

а. Равенство при всяких определяет интегральную кривую уравнения (1.3), проходящую внутри области D и оканчивающуюся в точке

Кривая есть интегральная. Тогда, очевидно, интегральная кривая L есть особая, так как в ее точках нарушена единственность решения. Она не может быть получена из общего решения при частном значении С. Но эта интегральная кривая

L может быть получена из общего решения при т. е. уравнение кривой L будет

Если уравнение кривой L есть то вместо (16.9) можно написать

где

Другими словами, уравнение кривой L получим из общего решения, полагая

Может, конечно, случиться, что предел при существует, равен но граничная кривая L не есть решение. И, наоборот, может не иметь предела при будет интегральной кривой. Если граничная кривая L есть интегральная и получается из общего решения в виде (16.11), то найдется из (16.1), определяется равенствами (16.2).

Резюмируя сказанное, приходим к следующим выводам:

1. Предположим, что функция имеет предел Со при и Со не зависит от точки Тогда кривая L может быть интегральной, может получаться из общего решения при и состоять из точек, в которых имеет место единственность, если выполнены указанные выше дополнительные условия. Принтом и доопределяем в замкнутой области

2. Функция имеет предел при При этом если L является интегральной кривой (но может и не быть интегральной), то обязательно особой и получается из общего решения при К этому надо добавить следующее важное замечание. На граничной кривой L функцию можно доопределить как при При этом будет определено на L как

При таком определении дифференциального уравнения на L кривая L может быть интегральной, а может и не быть (не говоря уже о том, что и предел при может не существовать). Но можно на L дифференциальное уравнение доопределить и так:

где — уравнение граничной кривой L (т. е. предполагаем существование дифференцируемой

При таком определении дифференциального уравнения на L кривая L всегда будет интегральной. Но не всегда

при Отсюда следует, что L может быть решением уравнения интегральные кривые из D входят в точки т. е. нарушена единственность, но не имеет предела при или значению на т. е. поле разрывно в точках

Тогда такое решение L особое или нет? Согласно нашему определению, оно неособое, так как в точках не является непрерывной (см. § 11).

Мы не рассмотрели тот возможный случай, когда не имеет предела при Без дополнительных предположений здесь ничего утверждать нельзя. На примерах увидим, что и в этом случае L может оказаться интегральной кривой при непрерывном определении на Но при этом оказывается, что иногда существует и другой интеграл имеющий предел при В одном случае мы рассмотрим качественную картину расположения интегральных кривых в окрестности границы когда и не имеет предела при

Рассмотрим примеры.

L — решение. Общее решение При имеем Решение особое и получается из общего при Из области в точку прямой входит интегральная кривая

не является интегральной. Легко показать, что в точки кривой L входят интегральные кривые из семейства общего решения, касаясь прямых Если положим на прямой то она станет интегральной, но тогда перестанет быть непрерывной в точках этой прямой.

Общим решением в области будет

Отсюда найден

Но, как легко видеть, интегралом будет лишь второе равенство

или

Будем рассматривать второй интеграл Граница L области в которой определено очевидно, является решением и получается из общего при Здесь

при

Решение неособое, так как через точки проходит лишь решение Здесь L есть . Общим решением будет откуда (а не ), так как в соответствии с правой частью При будет , поэтому решение особое и получается при Но находится и из

5. Пусть уравнение

задано в области Интегралом будет

или

Интеграл (16.15) определен во всей области, а интеграл (16.16) не определен в точках Но при интеграл (16.16) имеет предел

В точки граничной прямой входят интегральные кривые из области но эта прямая не является интегральной.

целое но на прямой рассматриваем

Интегралом будет Интеграл определен в области При интеграл не имеет предела, но граничная прямая является решением.

Впрочем, интегралом этого уравнения будет и Здесь уже при и решение получается при

Замечание. Если интеграл при то существует и такой интеграл который не имеет предела при Например, таким интегралом будет

Но остается вопрос, для какого уравнения и для какой граничной кривой L можно всегда указать интеграл имеющий предел при постоянный или зависящий от точки

Далее (глава III) для уравнений довольно общего вида построим общее решение или докажем его существование во всей области задания дифференциальных уравнений или в ее части.

Здесь непрерывна в области — В области имеем общее решение и интеграл

и в области

Общая граница L областей является решением уравнения (16.17). Для области имеем при и при из (16.18) получаем граничную интегральную прямую которая не будет особой, так как из области в точки этой прямой не входят интегральные кривые. Но из (16.19) имеем при При из (16.19) имеем Прямая не может рассматриваться, так как лежит вне области задания уравнения (16.17).

В каждую точку граничной интегральной прямой входит интегральная кривая из области

поэтому она будет особой. Таким образом, уравнение (16.17) задано в области при помощи непрерывной Но эта область делится прямой на две области: в каждой из которых обеспечена единственность решений. При этом с позиций области граничная интегральная прямая не будет особой, а с позиций области — особая. Из области можно распространить непрерывно определение в область с сохранением единственности решений в точках прямой например, полагая при Но нельзя распространить определение из в так, чтобы в расширенной области была единственность, включая и точки прямой Заметим еще, что при поэтому в точки прямой входят интегральные кривые из области Если мы определим на прямой равенством , то рассматриваемое уравнение будет задано и на прямой , и эта прямая будет интегральной, можно считать заданным и на прямой . Мы получили интеграл заданным в замкнутой области, но разрывна в точках прямой , так как при .

Теперь рассмотрим качественную картину расположения интегральных кривых в окрестности граничной кривой когда при

не имеет предела. Сначала рассмотрим уравнение

определенное так в области ограниченной прямыми

Здесь определено и непрерывно в точках граничной прямой и не определено в точках граничной прямой Очевидно, рассматриваемое дифференциальное уравнение однородное. Полагаем и получаем общее решение

а также решения

где — вещественные корни уравнения

Здесь все — простые корни уравнения (16.24). Их бесконечное число и так как кривые пересекаются бесконечное число раз в промежутке по два раза между точками

Если под знаком интеграла в (16.22) сделаем замену переменной

то получим

Пусть где очевидно, корни уравнения

Легко видеть, что уравнения не имеют совместных корней, поэтому корни уравнения (16.26) простые,

откуда следует, что и корни уравнения (16.24) также простые. Функция голоморфная в окрестности каждого фиксированного поэтому она представима в окрестности каждого корня в виде

Так как меняет знак при то

где Следовательно, и в формуле (16.22) имеем

Из рассуждений § 4 следует, что решения не пересекаются другими интегральными кривыми, которые асимптотически приближаются к этим интегральным прямым, и, кроме того, эти решения получаются формально из (16.22) при соответственно. Другими словами, неособые решения. Для этих прямых у — их граничная прямая если угодно, является точкой сгущения, так как но сама она не является интегральной прямой, так как на этой прямой дифференциальное уравнение не определено. Правда, можно на прямой доопределить рассматриваемое дифференциальное уравнение, положив и тогда бы граничная прямая стала интегральной. При этом в точках прямой осталась бы разрывной (разрыв третьего рода). И в точках этой прямой была бы единственность. Но она являлась бы особой с точки зрения первого определения, так как не получается из общего при частном значении С. Более того, в формуле лежит между значениями поэтому формула (16.22) имеет смысл лишь в том секторе, где расположено т. е. формула (16.22) доставляет общее решение в секторе, но не представляет общее решение в области, примыкающей к границе Первый корень лежит в промежутке поэтому в первом секторе формула (16.22) дает общее решение

в секторе между прямыми если нижний предел взят равным Но тогда, очевидно, при имеем

т. е. в точки прямой входят интегральные кривые, расположенные в первом секторе. Но эта граничная прямая не является интегральной. Если определим при то прямая будет решением, в каждую точку которого входят кривые из сектора. Но в точках прямой функция не будет непрерывной, следовательно, это решение, согласно определению, не будет особым.

Этим мы вообще рассмотрели случай, когда не имеет предела при и уравнение имеет вещественные корни в окрестности которых будет

и

Таким образом, мы рассмотреди пример качественной картины в окрестности граничной кривой, когда при функция не имеет предела. Само собой разумеется, что эта качественная картина определяется свойствами в окрестности границы и может быть весьма различной.

Легко указать и другие уравнения, которые можно изучить так же. Например,

так как, полагая а получим

Таким образом, если не имеет предела при то уравнение (16.28) легко изучить в окрестности кривой если обладает указанными выше свойствами, Границей области в которой имеет место существование и единственность решений, может быть одна или несколько точек. Например, уравнение

определено во всей плоскости, за исключением точки в которой не определена. Тогда можно изучать качественную

картину в окрестности точки В примере общим решением будет полупрямые, примыкающие к началу координат. Если интегралом будет окружности вокруг начала координат.

Можно рассмотреть уравнение

где — полиномы, обладающие свойствами

Тогда

а полагая получим

Теперь, как мы видели, легко изучить качественную картину как в окрестности точки или в окрестности кривой так и в целом. Но вообще качественная картина в окрестности, например, точки (0, 0) для уравнения

где будет весьма разнообразной и изучена во многих исследованиях. Мы еще коснемся этого в дальнейшем.

В заключение главы отметим, что многие дифференциальные уравнения, интегрируемые в конечном виде, можно найти в публикациях электротехнического факультета Белградского университета под редакцией Д. С. Митриновича и Д. М. Ивановича, а также в книге [42].