§ 6. Общая задача Коши для неоднородного уравнения

Рассмотрим сначала уравнение

для которого поставим теперь общую задачу Коши — найти интегральную поверхность, содержащую кривую

Записываем соответствующее уравнение (4.5)

и (4.8)

Пусть

— два независимых интеграла уравнений (6.4), где независимые решения уравнения (6.3). Решение поставленной задачи находим так. Из уравнений

находим

Тогда решение уравнения (6.1), содержащее кривую (6.2), получим в виде

так как при равенство (6.7) переходит в (в силу (6.6) и (6.7)).

Но можно подойти к решению этой задачи иначе. А именно из равенств

найдем

При фиксированных это кривая (расположенная на пересечении интегральных поверхностей Пусть

Тогда имеем

Это однопараметрическое семейство кривых. Меняя получим разные кривые. В силу того что точки или V в (6.10) фиксированы] удовлетворяют равенству (6.10), эти кривые лежат на интегральной поверхности, определяемой выбором функций или (так как это в сущности заданы как функции двух параметров тем самым задана поверхность.

Найти фиксированную интегральную поверхность — это найти соответствующую или Как это можно сделать, если (6.2) задана? Из (6.8) на основании (6.2) имеем

Исключая отсюда найдем

А что будет, если (6.2) — одна из кривых (6.9), т. е. если в фиксированные, а не функции от Тогда берем произвольную функцию подчиненную лишь одному условию При такой функции Ф мы получим интегральную поверхность (6.11), содержащую кривую (6.2). Если из (6.11) исключим то получим интегральную поверхность Можно задаться вопросом: а что, если в (6.13) только одно постоянное фиксированное, например Тогда интегральная поверхность, определяемая равенством

содержит кривую (6.2). Но, может быть, существует и другая интегральная поверхность, содержащая кривую (6.2). Если мы в (6.9) подставим то получим интегральную поверхность

Но, исключая отсюда получим (6.14), так как найдены из (6.8). Отсюда следует, что интегральная поверхность (6.15) совпадает с интегральной поверхностью (6.14). Или будем рассуждать иначе. Чтобы найти интегральную поверхность,

надо найти соответствующую функцию Но искомую интегральную поверхность мы найдем только при Таким образом, если в то существует только одна интегральная поверхность, содержащая кривую (6.2). Эта поверхность определена равенством

Пример.

Здесь Система (6.4) имеет вид

Общее решение или Если положим то получим интегральную поверхность Если же то Теперь найдем интегральную поверхность, содержащую кривую Составляем равенства откуда Подставляя сюда значения и находим Это равенство и определяет интегральную поверхность, содержащую заданную кривую. Найдем еще интегральную поверхность, содержащую кривую

Подставляя это в интеграл находим Следовательно, искомая интегральная поверхность определяется, согласно (6.14), равенством

Возвращаемся к уравнению (4.1). Пусть — независимые решения уравнения (4.5), которые являются интегралами уравнений (4.8):

Общее решение уравнения (4.5) имеем в виде (4.6), а уравнения виде (4.7):

или в виде

Из уравнений (6.16) получим

Это кривая в пространстве и, заданная параметрически с параметром и, содержащая произвольных постоянных

параметров При любых фиксированных она лежит на интегральной поверхности, определяемой функцией V в (6.17) (которая связывает эти фиксированные постоянные Из кривых (6.19) состоит всякая интегральная поверхность (принадлежащая I классу). Если надо найти интегральную поверхность, содержащую многообразие

то надо найти соответствующую функцию (6.17) или (6.18). Это можно сделать так. Находим из уравнений

величины (например, из первых уравнений)

Имеем

После этого (6.18) найдем в виде

и на основании (6.22)

Другими словами, исключая из (6.21), мы и находим (6.18) или (6.17).

Пусть теперь в (6.21) все - постоянные,

Тогда каждое из равенств

определяет интегральную поверхность, содержащую многообразие (6.20). Но такую интегральную поверхность определяет и равенство

где - произвольная функция, удовлетворяющая лишь условию

Семейство интегральных поверхностей очевидно, входит в состав интегральных поверхностей (6.25), определяемых условием

Теперь предположим, что в (6.21) не все - постоянные, а только

Тогда каждое из равенств

определяет интегральную поверхность, содержащую многообразие (6.20). Или можно взять вообще (6.25), где V обладает свойством

Такое равенство (6.25) определяет интегральную поверхность, содержащую многообразие (6.20).

Можно рассмотреть еще более общий случай. Пусть, кроме (6.27), имеем следующее: среди функций независимы:

остальные являются функциями от них:

Теперь все множество интегральных поверхностей, содержащих многообразие (6.20), получим в виде соотношения (6.25), которое обращается в тождество при любом из соотношений (6.27) или (6.30), или при одновременном их выполнении, т.е. должно быть вообще

Наконец, возможен и такой случай, когда функции

являются функциями от

Тогда задача Коши имеет решение лишь в том случае, когда удовлетворяет равенству

где — произвольная функция. И если это условие выполнено, то решение задачи Коши получаем из (6.25), где - произвольная функция, обладающая свойством

Соответствующее однородное уравнение есть

независимыми решениями которого будут

Найдем решение содержащее многообразие

Здесь равенства (6.21) имеют вид откуда получим Следовательно, решение уравнения (6.33) получаем в виде — (см. (6.28)), а также в виде (см. (6.30)) или вообще где Теперь найдем решение уравнения (6.33), содержащее многообразие

Имеем Следовательно, имеем Поэтому должно определяться из уравнения т. е. из где V — произвольная функция. А соответствующее решение уравнения (6.23) найдем из равенства где