§ 3. Примеры

Рассмотрим неоднородное уравнение с независимой переменной и постоянными

Здесь характеристическое уравнение имеет вид

откуда

Рассмотрим случай (3.4). Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

Найдем частное решение неоднородного уравнения по методу Лагранжа. В соответствии с формулами (1.20) и (1.26) имеем

откуда

Следовательно, частное решение уравнения (3.1) имеем в виде

Положим если если Так же выберем Пусть ограничена, т. е. — постоянное. Тогда будет ограничено

Это мы показали в главе I (см. рассуждение к формулам (6.5)). Общее решение уравнения (3.1) имеет вид

Отсюда видим, что если то имеем только одно ограниченное решение, которое получается при Это решение мы получим, очевидно, при начальных значениях

Если то все решения ограничены и обладают свойством при

Рассмотрим теперь случай (3.6). Здесь, согласно предыдущему, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

В этом случае снова можно искать по методу Лагранжа. Но здесь у и данное (3.10), также является решением, однако по виду комплексным, так как Но это решение будет вещественным, если возьмем при при При этом равенство (3.10) можно переписать так:

На основании формулы Эйлера полученное равенство можно записать и так:

Такое же мы нашли бы по методу Лагранжа исходя из (3.12). Легко и непосредственной подстановкой (3.13) в (3.1) убедиться, что (3.13) есть решение уравнения (3.1). Если то снова получим, что Вопрос о всем множестве ограниченных решений уравнения (3.1) здесь решается также на основании общего решения

Если при то во всех предыдущих случаях при Это также было показано при рассмотрении функции (6.5) в главе I. Пусть теперь — непрерывная периодическая функция с периодом , т. е.

В § 6 главы I мы показали, что в этом случае данный формулой (3.10), будет периодической функцией с периодом если при при соответственно выбрано так же.

Периодическим с периодом со будет и у и данный формулой (3.13). Покажем это. Пусть Тогда

Имеем

Полагая под знаком интеграла получаем

(воспользовались равенством Так же докажем периодичность и в случае записывая в виде

Теперь будем рассматривать уравнение

т. е. случай (3.7). Здесь общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

а , получим 1 из (3.13) при

Таким образом, общее решение есть

Выясним, когда уравнение (3.15) имеет периодическое решение и с каким периодом.

Пусть периодическое решение уравнения (3.15) с периодом Т, т. е.

Тогда имеем что получаем дифференцированием тождества (3.19). Следовательно, подставляя это периодическое решение в (3.15), получаем слева периодическую функцию с периодом Т. Но тогда и должно иметь период Т, т. е. должно быть

Пусть имеет период т. е.

Тогда — целое Итак, будем искать периодическое решение с периодом Т уравнения (3.15) при условии (3.21). Если такое решение есть, то оно содержится в формуле (3.18). Из (3.18) имеем

Заменяя под знаком интеграла получаем

Здесь аргумент изменяется в промежутке . Может случиться, что уравнение (3.15) задано только при 0. Но можно положить и при тем самым продолжим задание на промежуток —

0 периодически с прежним периодом Т. Тогда, в сущности не изменяя предположения относительно уравнения (3.15), можно написать

Отсюда видим, что тогда и только тогда, когда

Раскрывая здесь значения вместо (3.22) получаем

Это равенство обязано выполняться при всех поэтому, полагая затем получаем

Это и есть необходимое и достаточное условие, при котором уравнение (3.15) имеет периодическое с периодом Т решение. Посмотрим внимательнее, что оно означает. Из (3.23) надо чайти при которых имеем периодическое с периодом Т решение. Определитель этой системы есть

Очевидно, только в том случае, когда т. е. при целое. Другими словами, если то и мы всегда найдем из при которых получим из (3.18) периодическое решение. Если то уже имеем частное периодическое с периодом решение уравнения (3.15). А если то и при и при будет так как Тогда равенство (3.23) выполнено при произвольных если

Если же этого нет, то нет и периодического решения. Итак, если и равенства (3.24) выполнены, то периодическое решение существует — им просто будет решение (3.17). Но в этом случае и общее решение (3.18) будет периодическим с периодом так как Другими словами, в этом случае все решения периодические с периодом Что же означают равенства Функция согласно (3.21), периодическая с периодом . Будем рассуждать несколько грубо предположим, что представима рядом Фурье

Пусть Чтобы при этом имело место условие (3.24) у очевидно, необходимо, чтобы в разложении (3.25) не было

а это означает, что должно быть т.е., грубо говоря, не должна содержать гармонику

Если уравнение (3.15) имеет периодическое частное решение то его общее решение

будет ограниченным, а если то оно будет и периодическим с периодом Что же можно сказать о решении уравнения (3.15), когда нет частного периодического решения и когда При этом, как мы видели, и равенства (3.24) не выполнены. Но если то функция

периодическая с периодом А это означает замечание 6.1 в главе I), что где периодическая функция с периодом Т и

Отсюда следует, что решение (3.17)

не ограничено. Следовательно, здесь все решения уравнения (3.15) не ограничены. Говорят, что в этом случае имеем резонанс. Итак, мы имеем резонанс, если где — целое число, а (о — период функции и равенства (3.24) не выполнены. Отсюда же видно, что если нет периодического решения с периодом то его нет и с периодом (так как иначе общее решение уравнения (3.15) было бы ограниченным, чего нет). Вообще вопрос о наличии ограниченного решения уравнения (3.15) решается поведением решения

Если здесь функции

ограничены, то очевидно, ограничено. Вопрос об ограниченности этих функций рассмотрен в § 6 главы I в случае, когда при или является просто ограниченной. Но. могут, конечно, быть ограниченными, когда такой не будет так как периодически обращаются в нуль. Они-то и могут погасить в неограниченность, происходящую от неограниченности которая может колебаться, но возрастая при Могут быть, конечно, и неограниченными, будет ограничено — снова за счет обращения в нуль

Пример,

Общее решение однородного уравнения есть Найдем частное решение неоднородного уравнения по методу неопределенных коэффициентов в виде Подставляя это в уравнение (3.28), лучаем

Сравнивая здесь коэффициенты при слева и справа, получаем Если то частное решение имеем периодическое:

и общее решение

Если же то, согласно методу неопределенных коэффициентов, частное решение ищем в виде

Подставим его в уравнение (3.28):

— неограниченное.

Таким образом, если то все решения уравнения (3.28) ограничены, а если то общее решение имеет вид

— все решения не ограничены, имеем резонанс. Здесь т. е. период есть И если то

т. е. условия (3.24) не выполнены.

Переходим к рассмотрению того случая, когда Тогда уравнение (3.1) имеет вид

Общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение легко найдем по методу Лагранжа в виде

Полученное решение обладает свойством:

ограничено, если ограничено, т.е. если

периодическое с периодом если — периодическое с периодом .

Докажем первое. Запишем в виде

Очевидно, эти интегралы существуют, если И при этом условии имеем

Так же получим

Докажем второе свойство. Пусть Если

ограничен при то очевидно, что при Если же при то по Лопиталю получим

Так же покажем, что при

Докажем третье свойство

Полагаем , тогда

Заметим, что если в уравнении (3.29) не задано то мы можем в все-таки поставить нижний предел так как этим прибавляем лишь слагаемое

— решение однородного уравнения. Но так как мы пользуемся равенством (и при — и 0, то тем самым продолжаем задание на промежуток — периодической, какой она задана и при