§ 3. Представление решений полного уравнения через измененное укороченное

Теперь относительно уравнения (2.3) с постоянными поставим задачу несколько иначе. Возьмем только что рассмотренный случай, когда когда нет голоморфной функции при

и вместо (2.4)

Можно ли найти такую постоянную что ряд (1.1) с постоянными будет сходиться? Как мы видели, этого не будет при

Итак, рассмотрим

и положим

Затем полагаем

Сокращаем на z и переносим вправо

Легко видеть, что здесь нет решения при если Но будем искать решение или положим и будем искать решение при

Обозначим коэффициент при z через

Если

то Предположим, что

Тогда, если b определено согласно (3.8), то уравнение (3.7) имеет вид

Здесь имеем бесконечное множество голоморфных решений

поэтому

или в силу (3.8)

откуда

Таким образом, при уравнение (3.2) будет укороченным по сравнению с (3.1), но через решения этого уравнения невозможно получить представление (1.1) со сходящимся рядом. Однако это возможно, если взять b согласно (3.8). Если же окажется, что условие (3.9) не выполнено, т. е. будет

то мы также не получим вещественного сходящегося ряда в (1.1), так как из (3.8) найдется лишь чисто мнимое значение

Таким образом, мы доказали, что при решения уравнений (2.3) и (2.4) обладают свойством при нашли условия, которые обеспечивают существование сходящегося ряда (1.1) при постоянных и указали способ нахождения коэффициентов ряда (1.1). Если имеем функции и доказываем наличие

равенства (1.5), то тем самым находим и доказываем существование асимптотического разложения (1.1) (или в виде слагаемых). Но, как мы уже отметили, можно указать и такие способы нахождения которые основаны на предположении, что асимптотическое разложение (1.1) есть. Этот способ, следовательно, позволяет найти но не доказывает существования асимптотического разложения (1.1).

Переходим к изложению этого способа для у и определенных уравнениями (2.3) и (2.4). Мы уже доказали наличие равенства (2.7). Рассмотрим теперь выражение

Очевидно, что если асимптотическое или сходящееся разложение (1.1) существует, то

Если существует то существует и мы имеем

где

Будем рассматривать уравнения (2.3) и (2.4) при Возьмем значения z и у из (2.3) и (2.4) и найдем предел при

Подставим сюда у из (1.1) с учетом того, что

Таким образом, если есть асимптотическое разложение (1.1), то имеем (3.14). Но мы не доказали, что есть так как наше рассуждение было основано на существовании

и мы нашли (3.14), пользуясь этим разложением. Пользуясь равенствами (1.5) и (1.1), можно вообще находить как

если мы знаем, что (1.1) существует. Так же можно искать в (1.3) или (1.4), если знаем, что такое разложение есть. Можно подойти к определению иначе.

Будем рассматривать уравнения (3.1) и (3.2) при Подставим в (3.1) ряд

считая z решением уравнения (3.2) при функциями от Из (3.15), (3.1) и (3.2) имеем 1

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z справа и слева (это достаточное условие равенства, но не необходимое, так как — функции от имеем

Здесь мы снова пользовались тем, что разложение (3.15) имеется. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в (3.16), получаем лишь достаточные условия равенства (3.15). Если бы при найденных таким образом коэффициентах нам удалось доказать асимптотичность разложения (3.15) в смысле равенства (1.5), то рассуждение было бы законченным.