§ 4. Теорема Пикара

Система

задана в области

так, что непрерывны, следовательно,

и удовлетворяют условию Липшица в области (4.2) по переменным

Здесь L — положительная постоянная, а — произвольные из области (4.2).

Существует решение системы (4.1), удовлетворяющее условию

Это решение непрерывно дифференцируемо, единственное и существует, по крайней мере, в области

При значениях х из области (4.6) это решение не выходит из области

т. е. не выходит из области (4.2).

Если указанное здесь решение существует, то из (4.1) интегрированием получаем уравнения

называемые интегральными уравнениями.

Если, наоборот, существует решение интегральных уравнений то обладают свойством (4.5) и удовлетворяют уравнениям (4.1), так как, дифференцируя (4.8), получим (4.1). Докажем существование решений уравнений (4.8), пользуясь методом последовательных приближений Пикара.

Составим последовательности функций

Докажем, что равномерно в области (4.6) имеем

т. е. будет

где N можно указать по всякому заданному, как угодно малому, Из (4.9) имеем

откуда видим, что

Следовательно, в области не выйдут из области (4.2). А тогда при таких х подынтегральные функции в (4.10) определены, непрерывны при и мы получим неравенства

Отсюда следует, что при всех функции равенствами (4.10) определены, непрерывно дифференцируемы и

т. е. не выходят из области (4.2).

Получим еще вспомогательные оценки. Из (4.10) имеем

или, согласно (4.4),

Отсюда на основании (4.13) находим

Повторяя это рассуждение, мы вообще получаем

Легко видеть, что

есть сумма первых членов ряда

Согласно (4.19), модули членов ряда (4.21) не превосходят модулей членов ряда

с постоянными членами. Этот последний ряд сходится согласно признаку Даламбера. Из (4.22) имеем также

Следовательно, по теореме Вейерштрасса ряд (4.20) сходится в области (4.6) равномерно и сумма его является непрерывной функцией. Отсюда получим (4.11) и (4.12). Докажем, что предельные функции являются решением уравнений (4.8). В силу условий (4.4) и (4.12) имеем

при Отсюда следует, что, переходя в равенствах (4.9), (4.10) к пределу при получим (4.8), откуда заключаем, что предельные функции являются решениями системы (4.8).

Докажем, что другого решения уравнений (4.8), удовлетворяющих условию (4.5), нет. Пусть — другое такое решение, т. е. имеем

где определены и непрерывны в промежутке и при таких значениях х не выходят из области (4.2). Из (4.23) имеем (как и (4.13))

Вычитая из (4.23) равенства (4.9), (4.10), на основании (4.4) получаем

Полагая здесь на основании (4.24) получаем

Продолжая такое рассуждение при вообще находим

Отсюда следует, что — предельная функция последовательности (4.11), поэтому в силу единственности предела т. е. это другое решение совпадает с найденным при всех х из промежутка Единственность решения доказана. Заметим еще, что за первое приближение можно взять любые две функции определенные в промежутке и не выходящие при таких значениях х из области (4.2). Тогда все дальнейшие рассуждения не изменятся и снова будем иметь

Если в условии (4.2) промежуток изменения х дан в виде или , т. е. односторонний относительно то и решение получим соответственно с одной стороны от Если вместо возьмем его приближенное значение то, согласно (4.25), ошибка будет определяться неравенством

и для производной имеем

Если имеем уравнений, то и формулировка, и доказательства не меняются, начиная с уравнений (4.1), и далее надо только положить

Замечание 4.1. Если определены в области

где при то, согласно все приближения не выйдут из области (4.2). Тогда решение существует при и при таких х не выйдет из области (4.2).

Лемма 4.1. Пусть дана система уравнений

где определена в области и через точку проходит единственное решение. Здесь — любое конечное число. Тогда невозможно при Действительно, здесь — решение, так как поэтому нет другого решения Это означает, что У и только при или Таким образом, если, например, непрерывны в окрестности точки то к (0 могут стремиться к только при или Точка называется точкой равновесия, или точкой покоя,

так как решение начавшееся в точке при (конечное), будет оставаться в этой точке.