§ 11. Особое решение

Теперь иначе определим и особое решение. Будем называть решение особым, если оно состоит из точек, в которых нарушена единственность решения и или непрерывна.

В предыдущем параграфе мы видели, что строгое определение общего решения связано с такой областью в каждой точке которой обеспечена единственность решения. Следовательно, в такой области в которой существует общее решение, не может проходить особое решение в новом смысле. Но в этой области не проходит особое решение и в смысле прежнего определения, так как в ней все решения получаются при некотором значении произвольного постоянного С из общего согласно определению общего решения. Отсюда следует, что особое решение как в новом, так и в старом смысле может быть расположено только на границе области Но тогда рассматриваемое дифференциальное уравнение должно быть и задано не в открытой области в замкнутой области так как иначе нельзя рассматривать решение, состоящее из граничных точек. Таким образом, особые решения могут возникать только в том случае, когда дифференциальное уравнение определено в замкнутой области В и когда граничная кривая L является решением. Может, однако, случиться, что в области обеспечена единственность решения, но не существует общее решение. Тогда остается целесообразным только второе определение особого решения. Следует отметить, что во втором определении особого решения за основу взято внутреннее свойство особого решения — нарушение единственности в точках особого решения.

Первое же определение было связано с существованием общего решения.

В связи со строгим определением общего решения это следует объяснить, так как общее решение определено в открытой области особое решение при помощи общего надо определить на границе области

В дальнейшем особое решение будем понимать во втором смысле. Но этим не снимается вопрос о связи решения, проходящего на границе области с общим решением, если общее существует в т. е. остается вопрос, когда решение, проходящее по границе области может быть получено как-то из общего. Мы увидим далее, что это в сущности вопрос о/качественной картине расположения интегральных кривых в окрестности границы области Кстати, это мы уже видели, исследуя расположение интегральных кривых однородного уравнения. Пока же отметим, что в примерах § 2, 3 и 10 особые решения проходили по границе области в которой была обеспечена единственность решений, и не могли быть получены из общего при частном значении произвольного постоянного. В точках этих особых решений нарушалась и единственность решений. Но будет ли это всегда так?