§ 1. Системы, решения которых существуют в области ...

В конце § 6 главы III была доказана

Теорема 1.1 (Винтнера). Дана система

где функции определены и непрерывны в области Если существует непрерывная на промежутке функция при такая, что

то все решения системы (1.1) могут быть непрерывно продолжены на промежуток

Частным случаем этой системы, очевидно, будет 1 система удовлетворяющая условию

где М — постоянная

Теорема 1.2. Если в (1.1)

где - ограничено при то или решение системы (1.1) непродолжимо вне конечного промежутка или оно ограничено при Доказательство. Из (1.1) имеем

Отсюда в силу условий теоремы

откуда на основании результатов § 6 главы III и следует утверждение теоремы. Следовательно, если здесь решение не ограничено, то при (конечное).

Пример.

где Р и Q — полиномы относительно х и у степени 2, коэффициенты которых являются непрерывными функциями от при Предположим, что, полагая лолучаем

где — однородная форма от степени при Если при то при достаточно больших будет

Условия теоремы 1.2 выполнены, поэтому каждое решение этой системы или ограничено, или при (конечное).

Следствие. Если в системе отсутствует и если при то точка движения может уходить в бесконечность только либо при (конечное), либо заходя в как угодно малые окрестности направлений (может быть, просто приближаясь асимптотически к одному из направлений

Пример.

Из уравнений (1.4) имеем

Легко видеть, что Отсюда следует, что при

будет

И если начальное значение взято таким, что при условие (1.6) выполнено при всех то оно будет выполнено при всех и, следовательно, при (согласно теореме 1.2).