§ 7. Уравнение Риккати

До сих пор мы рассматривали такие конкретные дифференциальные уравнения, общее решение которых находилось при

помощи одной или двух квадратур. Такие дифференциальные уравнения (интегрируемые при помощи конечного числа интегралов или других элементарных операций) называются интегрируемыми в квадратурах или в конечном виде. Но таких типов дифференциальных уравнений мало. Даже самые, казалось бы, простые уравнения не интегрируются в конечном виде. И дело не в том, что мы еще не научились интегрировать эти уравнения в конечном виде, а в том, что это для некоторых дифференциальных уравнений вообще принципиально невозможно, т. е. для некоторых дифференциальных уравнений не существует конечного числа таких операций над функциями, входящими в заданное дифференциальное уравнение, при помощи которых можно было бы получить общее решение или решение задачи Коши. Это аналогично тому, как при нахождении корней алгебраического уравнения, например второй степени, с рациональными коэффициентами, мы сталкиваемся с иррациональными числами, которые не выражаются при помощи конечного числа сложений над рациональными числами, а требуют бесконечного числа операций (рядов) для своего выражения. Мы здесь получаем числа иной природы — нерациональные числа. Еще более высоким классом иррациональных чисел являются такие числа, которые не являются корнями полиномов с рациональными коэффициентами.

Уже в анализе при интегрировании элементарных функций сталкиваемся с функциями, которые не выражаются при помощи конечного числа алгебраических операций над элементарными функциями. В этом именно смысле и говорят, что интеграл от данной элементарной функции не берется. Еще более высокий класс трансцендентных функций мы встречаем при нахождении решений дифференциальных уравнений, когда решение не выражается при помощи конечного числа операций алгебраических, дифференцирования и интегрирования над функциями, входящими в заданное дифференциальное уравнение.

Заметим, однако, что формально задача интегрирования дифференциального уравнения считается законченной, если осталось только взять квадратуры, хотя, быть может, эти квадратуры и не берутся. Но надо сказать, что после такого формального окончания интегрирования дифференциального уравнения могут еще остаться очень трудные проблемы, связанные с выяснением некоторых свойств решений. Мы это видели, например, при изучении решений линейного дифференциального уравнения. Так, например, решением линейного дифференциального уравнения

с постоянными будет

но остается нерешенной задача: при каких несоизмеримых это решение будет ограниченным в промежутке Достаточные условия ограниченности этого решения указаны, но в целом задача остается нерешенной.

Классификация новых трансцендентных функций, являющихся решениями дифференциального уравнения, и выяснение той или иной природы их есть одна из главных задач теории дифференциальных уравнений.

Уравнение Риккати (7.1) является именно таким уравнением, которое при произвольном выборе функций не интегрируется в конечном виде. Но мы укажем несколько частных случаев уравнения (7.1), когда решение получается в конечном виде. И далее в III главе будет доказано, что уравнение (7.1) имеет решение с начальными условиями где — любое конечное число, а — произвольная точка, в окрестности которой — непрерывные функции. А теперь рассмотрим частные случаи уравнения (7.1).

в уравнении (7.1) постоянные. Тогда, очевидно, уравнение (7.1) с разделяющимися переменными, и мы получаем решение в виде

Это решение задачи Коши: где — произвольное, а не является корнем уравнения

Если — вещественные корни уравнения (7.3), то

— решения уравнения (7.1).

Упражнение. Показать, что если — вещественные корни уравнения (7.3) и то решение данное формулой (7.2), обладает свойствами:

Рассмотреть поведение решения данного формулой (7.2) при и при Показать, что при оно будет ограниченньм и при и при

Изучить поведение этого решения при условии Рассмотреть случай комплексных

Показать, что существуют два вещественных числа (найти их как функции такие, что решение будет определено в одном из промежутков

в зависимости от того, в каком из них взято 0. И эти решения обладают свойством

— постоянные. Тогда уравнение (7.1) однородное,

и интегрируется подстановкой

— постоянные. Полагая для определения и получаем уравнение с разделяющимися переменными

Упражнение. Провести исследования поведения решений в случаях II и III, подобные тем, которые проведены в случае I. Хорошо изучено уравнение Риккати вида

где и — постоянные. Именно указана бесконечная

последовательность значений а, при которых это уравнение разрешимо в квадратурах. Доказано, что в остальных случаях оно не интегрируется в квадратурах

Замечание. Если известно одно частное решение уравнения Риккати (7.1), то общее решение получим в квадратурах. Действительно, введем новую функцию равенством

Подставляя это в (7.1) и учитывая, что есть решение уравнения (7.1), получаем для уравнение

А это уравнение Бернулли. Полагая для получим линейное уравнение и, следовательно, найдем в квадратурах. Как мы видели, находится в форме

поэтому

т. е. решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция произвольного постоянного С. Многие работы посвящены интегрированию уравнения Риккати в частных случаях, но мы на этом останавливаться не будем и отсылаем читателя к книге [42], Покажем, что в некоторых случаях можно обнаружить многие свойства решений уравнения Риккати, хотя в конечном виде решения и не имеем.

Итак, пусть дано уравнение вида (7.1):

где — непрерывные функции при всех конечных х. Предположим, что уравнение

имеет вещественные корни т. е. дифференциальное уравнение можно записать в виде

и, очевидно,

так как иначе не будут вещественными. Будем рассматривать случаи

т. е.

Можно было бы рассмотреть и случай

где равенство имеем лишь в точках Если

то комплексные и уравнение можно записать в виде

Пусть имеем (7.8), т.е.

и функция ограничена:

где и М — постоянные.

В общем случае уравнение (7.14) не интегрируется в конечном виде, хотя в некоторых случаях это и возможно. Например, для уравнения

решениями будут

и, согласно замечанию, мы легко найдем общее решение в конечном виде.

Исследуем поведение решения уравнения (7.14) в общем виде. Рассмотрим решение уравнения (7.14) при условии

Так как для этого решения имеем то откуда получим

Отсюда следует, что если — решение уравнения

то будет и, следовательно, при имеем

Но из (7.19) находим

Очевидно, при поэтому и

При имеем так как при уменьшении убывает. В силу (7.15) имеем и если у — решение уравнения

то при вблизи

Так как

то или

или

или

Если при то Если то при не могло быть . Если же — , то при будет и Если при но — то и при Если же но — то при будет — поэтому при будет то есть мы возвращаемся при в прежнюю ситуацию:

Пусть теперь имеем при Что же будет при убывании Так как то у убывает при уменьшении х. Имеем

Может случиться, что при снова будет Это возвращает нас к рассмотренному случаю. Может, конечно, случиться, что при будет т.е. решение остается ограниченным при . Но пусть будет Что возможно в этом случае при

Так как при Имеем

Отсюда следует, что рассматриваемое решение при Отметим еще, что случай при невозможен, так как

при что противоречит предположению Доказана

Теорема 7.1. Все решения уравнения (7.14), подчиненные условию обладают свойством (7.22) и или или найдется такое что а после чего или а при (если или но или а (если но Если будет то при будет

Справедлива и

Теорема 7.2. При всех непрерывное решение уравнения (7.14) либо пересекает кривую либо а при . В последнем случае имеем решение ограниченное при . И всегда при

Замечание. Здесь возможен и такой случай, когда при затем при снова

0. Это будет при

Случай очевидно, невозможен.

Если начальное значение не подчинено условию (7.18), то решение уравнения (7.14) может и не обладать свойством (7.22). Рассмотрим, например, уравнение (7.14), где

Так как при уравнение имеет вид (7.16), то его решением

будет

так как при х уравнение имеет вид

Мы видим, что рассматриваемое решение не обладает свойством (7.22), так как, согласно (7.26),

Но здесь начальное значение не удовлетворяет условию (7.18). Общим решением уравнения (7.16) будет

Отсюда решение с условием получим при

Следовательно,

и, очевидно,

Таким образом, решение уравнения (7.14), где задано условиями (7.24), при условии имеем в виде (7.32) для Это решение обладает свойством (7.33), если и тем более, если

что соответствует общему утверждению теоремы 7.1. Но (как легко видеть из при эти решения обладают свойством

Рассматриваемые решения при определяются равенством

Все они обладают свойством

Мы видели, что если задано в виде (7.24), то общее решение при имеем в виде (7.30), и если определяется формулой (7.31). Найдем точку пересечения решения (7.32) и соответствующей кривой

Имеем Отсюда найдем Соответственно — искомая точка пересечения. При где а — малое, будет т.е. всякая интегральная кривая с пересекает кривую (7.37). Но при будет При т.е. при имеем Это левее тех значений х, при которых

формула (7.32) представляет наше решение. Следовательно, все рассматриваемые решения при не пересекаются с кривой и, как видно из (7.32), обладают свойством (7.34). И, кроме этого, имеем, конечно,

что утверждается в теореме (7.2).

Таким образом, решения (7.14), где задано условиями разбиваются на 4 класса:

пересекается с кривой в конечных точках, а также при если .

при где если . В общем случае решения уравнения (7.14) могут существовать в полубесконечном промежутке (что мы докажем и строго в III главе).

Все эти свойства решений уравнения (7.14) мы обнаруживаем, хотя и не можем проинтегрировать квадратурах. Здесь, конечно, возникают задачи: найти признаки, по которым можно узнать, какой из указанных случаев имеет место и как построить решение во всей области его существования. Это мы рассмотрим позднее. А сейчас кратко еще остановимся на случаях (7.6) и (7.12). Сначала (7.6), где будем предполагать непрерывными и ограниченными на всей оси х.

Рассмотрим решение уравнения (7.6) при начальном условии

Как видно из (7.6), , т. е. это решение возрастает при вблизи Как и для уравнения (7.14), доказывается, что невозможно, чтобы это решение обладало свойством

Очевидно, рассматриваемое решение либо обладает свойством

либо существует такое что

Если имеем (7.40), то это решение ограничено при Если же имеем то, согласно (7.9), можно считать

т. е. что при и вблизи имеем Отсюда следует, что при решение убывает. Далее может оказаться, что при (Если к тому же найдется такое что то это возвращает нас к исходному пункту рассуждений). Возможен и такой случай, когда при некотором х будет Сделаем дополнительное предположение, при котором это последнее невозможно. Именно пусть существует функция такая, что

и

Значит, в точках кривой угловой коэффициент интегральной кривой меньше углового коэффициента этой кривой, и, следовательно, интегральная кривая не может подняться выше этой кривой. Условие (7.42) означает, что есть решение уравнения

И, наконец, условие (7.42) всегда выполнено, если

так как тогда условие (7.42) означает

что, конечно, имеет место.

Можно полагать и, например,

при этом условие (7.42) означает, что

Итак, пусть (7.42) имеет место. Тогда интегральная кривая уравнения (7.6) не пересекает кривую снизу вверх, т. е. всегда имеем для интегральной кривой неравенство

если это равенство выполнено хотя бы для одного х.

Доказана

Теорема 7.3. Всякое решение уравнения (7.6) с начальным условием будет ограниченным, если имеем (7.41) и (7.42) или, в частности, просто (7.43).

Следовательно, решение с таким начальным условием обладает или свойством

или

Так же, как и для уравнения (7.14), докажем, что решение уравнения (7.6) с начальным условием

обладает свойством

где определяется выбором Но как ведет себя это решение при Очевидно, убывает при

Пусть Тогда

и

при Очевидно, при поэтому

если Может случиться, что при рассматриваемое решение убывает, но Или эта интегральная кривая пересекает кривую Доказана Теорема 7.4. Решение (7.48) либо обладает свойством т.е. будет ограниченным, либо найдется такая точка что

Рассмотрим частный случай уравнения (7.6)

где b — постоянные. Все решения этого уравнения с начальными условиями — остаются в промежутке при достаточно больших х и в промежутке Решения с начальными условиями при удовлетворяют неравенству при достаточно

больших х и неравенству . Здесь за кривую можно взять любую прямую где . А кроме того, если то убывает при увеличении при будет возрастает, откуда и следует утверждение. Легко видеть, что решения с начальными условиями обладают свойством

где конечное.

Переходим к изучению уравнения (7.12). Пусть функции, непрерывные и ограниченные во всей области

где а и — постоянные. Интегрируя равенство (7.12), получаем

Этому уравнению удовлетворяет решение с начальным условием Существование такого решения при будет доказано в главе III. А сейчас посмотрим, как оно может себя вести.

Будем предполагать, что лишь в изолированных точках. Тогда, как видно из (7.12), может быть только в изолированных точках, поэтому всякое решение возрастающая функция. Рассмотрим решение с начальными условиями Это решение возрастает, поэтому при будет

Но тогда из (7.50) видим, что

Следовательно, если существует при всех то при Пусть Из (7.12) получаем у

Но

Отсюда видим, что для этого решения

Но, может быть, возрастает, однако ограничено и существует при конечное. Это противоречит тому, что решение (любое конечное) при (любое конечное) существует при Таким образом, не может быть ограничено. Итак, всякое решение с начальным условием обладает свойством

Рассмотрим теперь произвольное решение Это решение существует и является возрастающей функцией. Но может ли быть ограниченной функцией при

Из (7.50) видим, что

откуда следует, что не будет ограниченной функцией, если

Предположим теперь, что

Рассмотрим пример

Здесь условие (7.52) выполнено. Частным решением этого уравнения будет

и общим

Решение с будет иметь вид

Как видно, решение (7.54) определено при всех х и будет ограничено при но оно не является решением с условием

Из (7.56) мы также видим, что при любом решение обладает свойством при Ранее мы доказали, что все решения с начальными условиями обладают свойством при — конечное. Теперь мы видим, что таким свойством могут обладать и решения, которые не удовлетворяют условию Но среди решений, не удовлетворяющих условию могут быть и такие, которые определены при всех и при этом будут ограниченными, как например (7.54).

Но все решения некоторых уравнений этого типа обладают свойством при — конечное. Например, таким свойством обладают все решения уравнения

Мы показали, что, и не имея решений в конечном виде, можно открыть многие свойства решений. Однако далее еще вернемся к уравнению Риккати и покажем, как можно построить решение этих уравнений во всей области существования в общем случае.