§ 3. Устойчивость решений линейных систем

Рассмотрим теперь вопрос об устойчйвости решений линейных систем

которые запишем и в векторной форме

Как мы видели, если

— фундаментальная матрица, то общее решение дается формулой

где — произвольные постоянные. Отсюда следует, что если матрица ограничена, то нулевое решение уравнений (3.1) будет устойчивым. Впрочем, и всякое решение будет устойчивым, так как если начальные значения двух решений мало отличаются, то, очевидно, мало будут отличаться и соответствующие значения тогда при всех будут мало отличаться и решения (так как ограничены). Если при то нулевое (и всякое) решение асимптотически устойчиво.

Таким образом, решение вопроса устойчивости решений здесь сводится к изучению поведения фундаментальной интегральной матрицы при

Рассмотрим теперь систему

где — постоянная вещественная матрица, а матрица

равномерно относительно т. е. по любому можно указать такое что как только , так

Предположим, что вещественные части всех характеристических чисел матрицы отрицательны, Если то, следовательно,

Введем новый вектор и равенством

где из теоремы 7.1 главы V, порожденная матрицей Тогда получим

или

Так как матрицы ограничены, то матрица

равномерно относительно Сравнивая систему (3.8) с системой (2.8), видим, что здесь в и вместо (2.11)

Отсюда видим, что вместо (2.14) будем иметь

при равномерно относительно согласно (3.9), т. е. здесь (см. (2.14)). Продолжая это рассуждение, как и в § 2, вместо получаем

и вместо (2.28) (здесь

Так как при то найдется такое что при будет постоянное, так как здесь 0 — постоянное . А тогда из (3.10) имеем

Следовательно, при при Другими словами, нулевое решение асимптотически устойчиво, а тогда то же самое можно сказать и относительно нулевого решения уравнений (3.5). Мы доказали также и то, что все решения уравнений (3.5) обладают свойством

Это следует из (3.11). Доказана

Теорема 3.1. Нулевое (и всякое) решение уравнений (3.5) асимптотически устойчиво.

Все решения уравнений (3.5) обладают свойством при если вещественные части всех характеристических чисел матрицы отрицательны и если выполнено условие (3.6). Найдена и область, из которой не выходит точка решения с заданными начальными условиями