§ 5. Существование и построение изолированных периодических решений уравнения ...

Мы будем рассматривать случай

Этому уравнению соответствует система

где — векторы. При

Заметим, что, согласно § 2, при точка (0, 0) будет центром для уравнений (5.1), если или или Два линейно независимых решения уравнений (5.2) суть и интегральная матрица X этой системы имеет вид

Решение уравнений (5.1) можно записать в виде

где — вектор и Мы будем считать . Решение с такими начальными значениями получим из (5.3) методом последовательных приближений, принимая за первое приближение, например, Так мы получим это решение с начальными значениями в виде рядов по степеням

где Согласно теореме Пуанкаре — Ляпунова, сходимость этих рядов при достаточно малых обеспечена в произвольном промежутке Ряды (5.4) можно, конечно, построить и непосредственно, подставляя (5.4) в (5.1) и сравнивая коэффициенты при всех степенях справа и слева. При этом мы получим дифференциальные уравнения для определения из которых и найдем эти коэффициенты при условии и единственным образом.

Решение (5.4) при малых расположено вблизи решения

уравнений (5.2). Будет ли оно периодическим? И если будет периодическим, то с каким периодом ? Если все оказались периодическими с периодом то (5.4) и будет искомым периодическим решением с периодом Но мы нашли только при условии При таком условии находятся единственные, но будут ли они периодическими? Пусть (5.4) — периодическое решение с периодом Тогда имеем

или

Если это — тождества при всех достаточно малых то, так как не зависят от должно быть

И так же последовательно докажем периодичность Таким образом, если (5.4) — периодическое решение с периодом то также будут периодическими с периодом

Но решение (5.4) будет периодическим с периодом если только

откуда Это условие необходимое и достаточное для периодичности с периодом решения (5.4). Если определенное равенством (5.3), периодическое с периодом т. е. если то из (5.3) имеем

Это также условие необходимое и достаточное для периодичности с периодом решения (5.4). Отсюда имеем

Можно ли проверить выполнение этих условий непосредственно

Пусть теперь (5.4) является периодическим решением с периодом т. е.

Если зависят от то нет оснований утверждать, что Но здесь достаточно рассмотреть эти равенства, как и в предыдущем случае, при

так как

Нас интересует такое периодическое решение (5.4), которое при приближается к решению (5.5) уравнений (5.2). Поэтому должно быть т. е. при . Но тогда при . Имеем ли мы такие из равенств

Пусть решение (5.4) является таким решением или пусть определенное равенством (5.3), является периодическим с периодом при . Тогда из (5.3) имеем

Выполнение этого условия является необходимым и достаточным условием существования периодического решения уравнений (5.1) с периодом или с целым Так как то определитель , поэтому матрица существует. И равенство (5.9) можно записать в виде

Но здесь при так как

Под знаком интеграла в (5.10) имеем

Из (5.10) имеем (приближенно)

откуда имеем два равенства:

Если периодическое решение с есть, то отсюда мы и найдем эти величины (приближенно). Но в (5.11) нужно подставить разложения (5.4), где должны быть найдены Величину на основании (5.4) можно представить в виде

где — полином от коэффициентов рядов Найдем

следовательно,

Также найдем Вернемся к формуле (5.3). Учитывая значения и (5.10, получаем

отсюда

На основании (5.114) для определения в рядах (5.4) получим рекуррентные формулы

Очевидно, что и обеспечивает сходимость рядов (5.4). Как было отмечено, можно определять и непосредственно, подставляя (5.4) в уравнение (5.1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Но по формулам (5.14) это короче. Приближенно из (5.14) имеем

где

Пользуясь этими значениями из (5.14) найдем и тем самым получим

Приближенно условия (5.8) существования периодического решения с периодом можно записать в виде

или

Подставим ряды (5.4) в (5.1):

Отсюда

Запишем из (5.112) в виде

Отсюда

Общее решение этого уравнения находим в виде

где произвольные постоянные. И так как должно быть то Теперь найдем 3

И так как должно быть то

Рассмотрим теперь первое равенство (5.19), где приближенно можно взять

Будем иметь

Здесь

так как при этом Следовательно, если то при имеем Найдем

Поэтому имеем или и

что видно из первого равенства (5.18). Здесь — малая порядка вместе с

Мы нашли период

где а дано формулой (5.22). Из (5.19) имеем

поэтому при получаем т. е.

Отсюда получаем необходимое условие существования периодического решения

Следовательно,

Рассмотрим теперь второе равенство (5.18), которое запишем в виде

Здесь Имеем

Так как то получим

Следовательно, при перейдет в равенство

Найдем теперь Из (5.14) имеем

На основании (5.112), учитывая, что найдем

Теперь из (5.27) получим

Подставим это в (5.26)

или

Отсюда видим, что не определяется этим равенством, если или или или Но в первых двух случаях, как мы видели (§ 2), точка (0, 0) будет центром, поэтому изолированного периодического решения вокруг этой точки и ожидать не следует. Если же то отсутствие изолированного периодического решения доказано в [XXII, XXIII]. Если и если то изолированное периодическое решение существует с периодом

где приближенно легко найдем из второго уравнения (5.18). Это решение представимо формулами (5.4) и (5.14). Но можно коэффициенты рядов (5.4) искать и непосредственно, подставляя разложения (5.4) в уравнения (5.1) и сравнивая коэффлциенты при всех степенях Однако это более громоздко. Величины можно было бы находить, как мы указали, и из равенств (5.11). Согласно замечанию в § 3, мы легко найдем замкнутую интегральную кривую, соответствующую периодическому решению системы (5.1), в виде