ГЛАВА VIII. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И МЕТОД ОСОБЫХ РЕШЕНИЙ

В этой главе мы рассмотрим некоторый метод преобразований, позволяющий проинтегрировать заданное дифференциальное уравнение или исследовать свойства его решений. Покажем еще, что иногда знание особых решений заданного уравнения или вспомогательного позволяет проинтегрировать его или исследовать свойства его решений. Это будет связано и с теорией уравнений в частных производных, изложенной в VII главе.

§ 1. Общая теория метода

Будем рассматривать уравнение

Представим это уравнение в виде

где — некоторые функции. Уравнение (1.2) можно записать так:

Отсюда получим

где

или

и

Здесь возможны частные случаи

а также

Если уравнение (1.1) задано и удалось его записать в виде (1.2), то имеем уравнение (1.3). Если при этом будем иметь случай (1.8), то получим интеграл уравнения (1.1) в виде

Если же имеем случай (1.9), то получим уравнение

Интеграл этого уравнения

будет интегралом уравнения (1.1), где — любое нетривиальное решение уравнения (1.7). Может случиться, что уравнение (1.12) не интегрируется в замкнутой форме, но свойства решений исследуются в каком-то смысле проще, чем свойства решений уравнения (1.1). То же самое можно сказать относительно случая (1.11), так как здесь имеем на основании (1.6) уравнение

Если же найдено, то, определяя из переменную подставим ее в (1.3):

Интеграл этого уравнения

будет интегралом и уравнения (1.1): Если же Ф имеет вид (1.8), (1.9) или (1.11), то, как мы видели, интегрирование упрощается, так как нет нужды в нахождении х из равенства

Если задано уравнение (1.1), то как найти представление Надо найти функции из уравнения (1.7). Если как-то выберем функцию

то Ф найдем из (1.7). Действительно, из получим подставляя это в (1.7), находим

т. е. Ф нашли в виде (1.9). Если же выберем функцию то надо искать из уравнения в частных производных (1.7). Из уравнения (1.7) нам достаточно найти какое-нибудь частное решение Пусть, например, уравнение (1.1) задано в виде

где — полиномы и выбрано также в виде полинома. Тогда можно пытаться найти и частное решение уравнения (1.7) в виде полинома. Но здесь возможны и другие приемы нахождения Покажем далее, что иногда можно найти не зная функции после чего находится и Ф и исследуется уравнение (1.1).

Итак, пусть выбрана. Тогда находится из уравнения (1.7). Как мы видели в главе VII, решения этого неоднородного линейного уравнения можно искать в неявном виде

где — решение уравнения

Соответствующая система обыкновенных уравнений имеет вид

или

Пусть — интегралы этих уравнений. Тогда -произвольная функция, и найдем из равенства

или произвольная функция. Можно отсюда получить

Если же то вместо интеграла будем иметь и

Как видим, сюда входит интеграл уравнения Можно взять не зависящей от но тогда представление (1.2) теряет смысл, так как числитель Отсюда видим, что если уравнение (1.1) имеет интеграл

то при заданной функции имеем бесконечное множество функций согласно формуле (1.21), где — произвольная функция относительно относительно у определяется видом интеграла Но можно интеграл задать произвольно, и тогда найдется соответствующая функция Другими словами, можно считать произвольной и относительно у, и относительно найдется). Этим доказана

Теорема 1.1. Если в окрестности точки выполнена теорема существования и единственности для уравнения (1.1), то интегральная кривая уравнения (1.1), проходящая через точку преобразуется в плоскости в любую кривую, так как — произвольная кривая благодаря произвольному выбору функции

Можно, в частности, всегда положить Тогда из уравнения (1.3) найдем

Пример,

Пусть Тогда интегралами уравнений (1.19) будут Равенство (1. 21): Пусть Заданное уравнение перепишем так:

Это уравнение, следовательно, преобразуется в уравнение с общим интегралом

Замечание 1.1. Надо иметь в виду, однако, что не всегда при заданной функции все решения уравнения (1.17) получим по формуле (1.21), так как иногда существуют особые решения, решения II класса уравнения (1.7), которые находятся независимо от вида интеграла уравнения

Это такие решения, которые получаем из уравнения где удовлетворяет уравнению (1.17) не тождественно, а в силу равенства Мы видели это в главе VII. Но рассмотрим еще Пример.

Положим

Тогда уравнение (1.7) имеет вид

и уравнение (1.17)

Система (1.19)

Интегралами этой системы будут

Общее решение уравнения (1.23) есть -произвольная функция. Общее решение уравнения (1.22) (решения

I класса) получим из или

откуда

где — произвольная функция. Рассмотрим теперь Подставляя это в (1.23), получаем

откуда видим, что удовлетворяет уравнению (1.23) в силу что и доставляет решение уравнения (1.22). Это решение не содержится в общем решении (1.24) ни при каком выборе так как при должно было бы быть что невозможно ни при какой так как х и у — независимые переменные. Решение

II класса, и нахождение его не связано с интегралом заданного уравнения, т. е. его нахождение не связано непосредственно с интегрированием заданного уравнения 1. Но и такое решение уравнения (1.7) позволяет интегрировать заданное

данное уравнение (1.1) при помощи уравнения (1.3). Например, для рассматриваемой системы

мы могли искать множество точек, в окрестности которых нарушены условия единственности, множество точек, в которых Мы и нашли бы что доставляет решение уравнения (1.7). Эта плоскость является границей области единственности и покрыта интегральными кривыми которые являются особыми решениями системы Подставим в уравнение (1.3): Получим . Подставим сюда и получим интеграл заданного уравнения.

Замечание 1.2. Рассмотрим уравнение в частных производных

Пусть -решение уравнения (1.25). Тогда, очевидно, будет решением и уравнения

Может оказаться, что для уравнения (1.25) это решение особое — II класса, а для (1.26) частное — I класса, т. е. содержится в общем решении. Это видно на примере (1.22). Рассмотрим теперь более общий пример. Именно рассмотрим уравнение

Запишем это уравнение в виде (1.2) следующим образом:

Здесь — функция, входящая в уравнение (1.27), и

Функцию согласно (1.7), найдем из уравнения

Легко видеть, что

— решение этого уравнения.

Запишем теперь уравнение (1.27) в виде

Тогда соответственно уравнение (1.7) имеет вид

Для этого уравнения функция (1.30) также будет решением.

Покажем, что для уравнения (1.29) функция (1.30) будет решением II класса, а для (1.33) — решением I класса. Найдем общее решение уравнения (1.33). Система обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующая уравнению (1.33), согласно (1.18), имеет вид

или

Легко убедиться, что интегралом первого из этих уравнений будет

Отсюда найдем

Второй интеграл имеем в виде

так как в силу (1.34). Общее решение найдем из равенства

где — произвольная функция. Отсюда получим общее решение в виде

с произвольной функцией Решение (1.30) отсюда найдем при откуда и видим, что это решение является частным для уравнения (1.33).

Найдем теперь общее решение уравнения (1.29), для чего будем искать интегралы системы уравнений

т. е. уравнений

Первое из этих уравнений совпадает с первым уравнением (1.34) поэтому имеем интеграл (1.35).

Легко убедиться, что вторым интегралом будет

Действительно, имеем

если принять во внимание, что

Общее решение получим из т. е.

или

Отсюда нельзя получить решение так как при получим

что невозможно.

Мы доказали, что — решение особое, решение II класса уравнения (1.29). Таким образом, если как-то выбрано, то надо найти из уравнения (1.7). При этом достаточно найти какое-нибудь решение этого уравнения. Если мы будем искать частное решение, то, вообще говоря, это связано с нахождением интеграла первоначального уравнения (1.1) в соответствии с формулой или (1.20). Правда, можно, например, искать в виде полинома; как было отмечено относительно уравнения (1.15). Но можно искать и особое решение уравнения (1.7), что никак не связано с нахождением интеграла уравнения (1.1). Это особое решение состоит из точек, в которых нарушается единственность решений системы (1.18), соответствующей уравнению (1.17). И, с другой стороны, это решение находим из равенства (1.16), где удовлетворяет уравнению (1.17) в силу (1.16). Следовательно, можно искать из уравнения

где в остальном эта функция произвольная. Тогда функция удовлетворяет уравнению (1.17) в силу равенства . А само равенство

доставляет решение уравнения (1.7). Но решение уравнения (1.7) может оказаться и неособым. Может даже случиться, что удовлетворяет уравнению (1.17) в силу равенства (1.40), но равенство (1.40) не определяет решение уравнения (1.7). Мы это видели в главе VII.